Quand l’ensemble de Julia est-il connexe ?

Pour z² + c, l’ensemble de Julia rempli est connexe si et seulement si c est dans l’ensemble de Mandelbrot (l’orbite critique de zéro reste bornée). À l’extérieur, l’ensemble de Julia se brise en poussière de Cantor.

En quoi cela diffère-t-il de l’ensemble de Mandelbrot ?

L’ensemble de Mandelbrot fait varier c et part toujours de z₀ = 0. L’image de Julia fixe un c et colore beaucoup de z initiaux. L’ensemble de Mandelbrot est la carte des paramètres pour lesquels les ensembles de Julia sont connexes.

Pourquoi faire parcourir un cercle à c ?

Un chemin circulaire dans le plan des c traverse périodiquement la frontière de l’ensemble de Mandelbrot : l’ensemble de Julia passe sous les yeux de « bulbes » connexes à des formes déconnectées, en poussière, sans chercher les paramètres à la main.

Ensemble de Julia

Paramètre c depuis un mini-ensemble de Mandelbrot, ou animation sur un cercle ; poussière de Fatou contre ensembles connexes.

À propos du modèle

Pour un paramètre complexe c fixé, l’ensemble de Julia de l’application z ↦ z² + c est la frontière entre les orbites qui s’échappent à l’infini et celles qui restent bornées (ensemble de Julia rempli et composantes de Fatou). On choisit c par un clic sur le mini-ensemble de Mandelbrot intégré, ou on le fait parcourir un cercle : à l’intérieur de l’ensemble de Mandelbrot les ensembles de Julia sont connexes, à l’extérieur ils se brisent en poussière de Cantor de Fatou. La coloration suit le temps d’échappement de l’itération z_{n+1} = z_n² + c depuis chaque pixel comme z initial. Famille quadratique seulement, sans applications de degré supérieur ni bassins de Newton ; le nombre d’itérations est fini.

Public : Dynamique complexe : lien entre ensembles de Mandelbrot et de Julia, connexité.

Notions clés

ensemble de Julia
ensemble de Julia rempli
poussière de Fatou
ensemble de Mandelbrot
application quadratique
temps d’échappement

Comment ça marche

L’ensemble de Julia de z ↦ z²+c à c fixé est la frontière entre orbites fuyantes et bornées. Un pixel est le z initial ; la couleur est le temps d’échappement. Si c est dans l’ensemble de Mandelbrot, l’ensemble de Julia rempli est connexe ; sinon il se brise en poussière de Cantor de Fatou. On choisit c sur le mini-ensemble de Mandelbrot ou on le fait parcourir un cercle.

Formules

J(c) = ∂{ z₀ ∈ ℂ : supₙ|zₙ| < ∞ }, zₙ₊₁ = zₙ² + c

connected ⇔ c ∈ M (Fatou–Julia)

Questions fréquentes

Quand l’ensemble de Julia est-il connexe ?: Pour z² + c, l’ensemble de Julia rempli est connexe si et seulement si c est dans l’ensemble de Mandelbrot (l’orbite critique de zéro reste bornée). À l’extérieur, l’ensemble de Julia se brise en poussière de Cantor.
En quoi cela diffère-t-il de l’ensemble de Mandelbrot ?: L’ensemble de Mandelbrot fait varier c et part toujours de z₀ = 0. L’image de Julia fixe un c et colore beaucoup de z initiaux. L’ensemble de Mandelbrot est la carte des paramètres pour lesquels les ensembles de Julia sont connexes.
Pourquoi faire parcourir un cercle à c ?: Un chemin circulaire dans le plan des c traverse périodiquement la frontière de l’ensemble de Mandelbrot : l’ensemble de Julia passe sous les yeux de « bulbes » connexes à des formes déconnectées, en poussière, sans chercher les paramètres à la main.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauCollège–lycée

Fractales : Mandelbrot, Julia, Koch

Lancer la simulation

Ensemble de Mandelbrot, ensemble de Julia et flocon de Koch. Itérations z ← z² + c, échelle à la molette.

NouveauUniversité

Ensemble de Mandelbrot

Lancer la simulation

Fort agrandissement de l’ensemble de Mandelbrot : glisser et molette, coloration continue et repères nommés.

NouveauUniversité

Bassins de Newton–Raphson

Lancer la simulation

Carte des bassins de Newton–Raphson pour le système F(x, y) = 0 : dépendance de l’approximation initiale, nombre d’itérations, attraction vers les racines et échecs lorsque la jacobienne est dégénérée.

NouveauCollège–lycée

Méthode de Newton (1D)

Lancer la simulation

Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur �Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur ℂ sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

NouveauUniversité

Processus gaussien : régression

Lancer la simulation

Régression par processus gaussien à noyaux RBF et de Matérn : longueur de corrélation et bruit, observations par clic, moyenne a posteriori, bande d’incertitude et choix du point de plus grande variance.

NouveauCollège–lycée

Phasor complexe

Lancer la simulation

Point e^{i(ωt+φ)} sur le cercle unité ; projections Re, Im et phase φ.

Ensemble de Julia

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Fractales : Mandelbrot, Julia, Koch

Ensemble de Mandelbrot

Bassins de Newton–Raphson

Méthode de Newton (1D)

Processus gaussien : régression

Phasor complexe

Ensemble de Julia

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes