Dynamique de l’erreur pour l’équation de Poisson unidimensionnelle : Jacobi et Gauss–Seidel lissent les hautes fréquences, et le cycle en V, par restriction du résidu et correction sur grille grossière, ôte vite les modes bas.
À propos du modèle
La relaxation multigrille s’applique au problème de Poisson unidimensionnel −u″ = f, u(0) = u(1) = 0, dont la solution exacte est connue, faite d’un mode sinusoïdal bas et d’un mode haut. En partant de zéro, les relaxations de Jacobi et de Gauss–Seidel amortissent vite l’erreur haute fréquence — ce sont des lisseurs. L’erreur lisse restante, de basse fréquence, décroît lentement sur la grille fine. Le cycle en V calcule le résidu r = f − Au, le restreint aux grilles grossières, où l’erreur lisse devient plus oscillante et moins coûteuse, puis prolonge la correction en retour. Le panneau du haut montre l’erreur courante u − u* pour Jacobi, Gauss–Seidel et la multigrille ; celui du bas, l’historique logarithmique de l’erreur L2.
Public : Équations aux dérivées partielles numériques : relaxation, lisseurs, correction par le résidu, restriction et prolongement.
Notions clés
méthode multigrille
méthode de Jacobi
méthode de Gauss–Seidel
cycle en V
correction sur grille grossière
résidu
restriction
prolongement
Comment ça marche
Pour le problème 1D −u″=f, on compare Jacobi, Gauss–Seidel et le cycle en V de la multigrille. La relaxation lisse vite l’erreur haute fréquence, mais ôte lentement la basse fréquence lisse ; la multigrille restreint le résidu à la grille grossière, résout la correction et la prolonge en retour.
Formules
Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.
Questions fréquentes
Pourquoi Jacobi et Gauss–Seidel ôtent-ils d’abord les hautes fréquences ?
La relaxation locale met à jour le nœud à partir des voisins. Une erreur oscillante produit de grands résidus locaux et s’amortit vite. Une erreur lisse de basse fréquence est localement presque cohérente, donc la grille fine la change lentement.
Que fait la grille grossière ?
L’erreur lisse sur la grille fine paraît moins lisse relativement à la grille grossière. Y résoudre l’équation du résidu donne une correction globale peu coûteuse ; l’interpolation la ramène sur la grille fine.
S’agit-il d’une multigrille industrielle ?
Non. C’est un cycle en V géométrique pour l’opérateur de Poisson unidimensionnel. Les solveurs industriels ajoutent des opérateurs de transfert soignés, les conditions aux limites, des critères d’arrêt, le choix du lisseur et le passage à des maillages bidimensionnels et tridimensionnels complexes.