Pourquoi le schéma explicite explose-t-il pour r > 1/2 ?

Les modes de Fourier de l’erreur sont multipliés à chaque pas par G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Pour les modes haute fréquence et r > 1/2, on a |G| > 1 : même un arrondi ou un petit bruit en damier croît, alors que la vraie équation de la chaleur devrait tout lisser.

Si le schéma implicite est stable pour tout r, pourquoi ne pas prendre un pas énorme ?

Stabilité n’est pas précision. Un grand r amortit trop les modes et peut étaler le transitoire. Les méthodes implicites autorisent de grands pas stables, mais on choisit encore Δt selon la précision voulue et les temps caractéristiques du problème.

Quelles conditions aux limites sont utilisées ?

Aux deux extrémités, u = 0 (conditions de Dirichlet homogènes), comme une barre dont les bouts sont fixés dans un bain thermique. Les formules ne s’appliquent qu’aux nœuds intérieurs de la grille.

Équation de la chaleur : différences finies

Équation 1D u_t = αu_xx : FTCS explicite et Euler implicite ; faites varier r = αΔt/Δx², observez l’explosion du schéma explicite pour r > 1/2 et comparez la diffusion numérique.

À propos du modèle

L’équation de la chaleur u_t = α u_xx décrit l’égalisation de la température le long d’une barre. Sur le segment 0 ≤ x ≤ 1 les bords sont fixés : u = 0. La dérivée seconde est remplacée par la différence usuelle sur une grille uniforme ; le paramètre adimensionnel principal est le nombre de diffusion r = αΔt/Δx². Schéma FTCS explicite : u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i-1}^n − 2u_i^n + u_{i+1}^n) ; l’analyse de von Neumann donne la limite de stabilité r ≤ 1/2. Pour r > 1/2, les composantes alternées haute fréquence croissent — explosion caractéristique « en dents de scie ». L’Euler implicite résout (I − rL)u^{n+1} = u^n par un système tridiagonal (algorithme de Thomas) : pour la diffusion il est inconditionnellement stable, un grand r n’explose pas, mais le profil s’étale davantage. Le graphe du haut est le profil courant, la bande du bas l’histoire récente.

Public : Méthodes numériques pour les EDP : différences finies, stabilité, schémas explicites et implicites.

Notions clés

équation de la chaleur
différences finies
FTCS
Euler implicite
condition de Courant
stabilité de von Neumann
algorithme de Thomas
diffusion numérique

Comment ça marche

Équation de la chaleur u_t = αu_xx sur une barre unidimensionnelle avec u=0 aux bords. La FTCS explicite utilise r = αΔt/Δx² et n’est stable que pour r ≤ 1/2 ; au-delà, un petit bruit en damier explose. L’Euler implicite résout un système tridiagonal et n’explose pas, mais lisse davantage.

Formules

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Questions fréquentes

Pourquoi le schéma explicite explose-t-il pour r > 1/2 ?: Les modes de Fourier de l’erreur sont multipliés à chaque pas par G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Pour les modes haute fréquence et r > 1/2, on a |G| > 1 : même un arrondi ou un petit bruit en damier croît, alors que la vraie équation de la chaleur devrait tout lisser.
Si le schéma implicite est stable pour tout r, pourquoi ne pas prendre un pas énorme ?: Stabilité n’est pas précision. Un grand r amortit trop les modes et peut étaler le transitoire. Les méthodes implicites autorisent de grands pas stables, mais on choisit encore Δt selon la précision voulue et les temps caractéristiques du problème.
Quelles conditions aux limites sont utilisées ?: Aux deux extrémités, u = 0 (conditions de Dirichlet homogènes), comme une barre dont les bouts sont fixés dans un bain thermique. Les formules ne s’appliquent qu’aux nœuds intérieurs de la grille.

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