Advection linéaire u_t + c u_x = 0 sur une grille périodique : diffusion du schéma amont, oscillations dispersives de Lax–Wendroff et de MacCormack, translation exacte de l’impulsion, erreur L² et nombre de Courant ν.
À propos du modèle
L’équation d’advection linéaire u_t + c u_x = 0 à vitesse constante, sur une grille unidimensionnelle périodique, a pour solution exacte la translation de l’impulsion initiale : les artefacts numériques sautent aux yeux. Le schéma amont d’ordre un prend la valeur du côté amont et est monotone pour ν = cΔt/Δx ≤ 1, mais il introduit une diffusion numérique : les impulsions rectangulaires s’étalent. Lax–Wendroff ajoute une correction d’ordre deux et tient mieux le front, mais aux discontinuités donne des oscillations dispersives — dépassement et creux. MacCormack (prédicteur–correcteur) est aussi d’ordre deux pour les ondes lisses, avec des oscillations voisines sur les fronts raides. Les trois schémas avancent en parallèle, la translation exacte est superposée ; en bas, l’erreur ponctuelle.
Public : Méthodes numériques pour les équations de transport : condition de Courant, monotonie et schémas d’ordre deux.
Notions clés
advection linéaire
schéma amont
schéma de Lax–Wendroff
schéma de MacCormack
condition de Courant
diffusion numérique
dispersion numérique
différences finies
Comment ça marche
u_t + c u_x = 0 sur une grille 1D périodique : le pointillé blanc est la translation exacte de l’impulsion. Le schéma amont est monotone mais étale ; Lax–Wendroff et MacCormack, d’ordre deux, sont plus nets sur les parties lisses, mais près des discontinuités donnent des oscillations dispersives. Le curseur ν = cΔt/Δx montre la limite CFL ≤ 1.
Pour une vitesse positive, le schéma amont remplace la dérivée par une différence décentrée vers l’arrière. Dans l’équation modifiée apparaît un terme de diffusion artificielle proportionnel à (1 − ν)Δx : les discontinuités s’amortissent et s’élargissent au lieu d’être transportées exactement.
Pourquoi Lax–Wendroff et MacCormack font-ils des dépassements près des sauts ?
Ce sont des schémas d’ordre deux, moins diffusifs. Près d’une discontinuité, les composantes haute fréquence reçoivent des erreurs de phase : oscillations dispersives. Le même conflit entre monotonie et haute précision se règle par des limiteurs TVD et les schémas modernes à haute résolution.
Que signifie ici le nombre de Courant ν ?
ν = cΔt/Δx est le nombre de mailles que l’information parcourt en un pas de temps. Pour ces schémas explicites d’advection linéaire, le domaine de stabilité de base est environ ν ≤ 1. Au-delà, le domaine de dépendance numérique ne suit plus l’équation.