Pourquoi la méthode des volumes finis calcule-t-elle les flux à travers les faces ?

La loi intégrale de conservation dit que la moyenne dans une maille change à cause du flux qui traverse ses frontières. Les flux numériques de face rendent la conservation locale et explicite.

Pourquoi les différences centrées peuvent-elles osciller ?

Quand l’advection domine la diffusion, le nombre de Péclet de maille est grand et l’interpolation centrée n’apporte pas assez d’amortissement numérique. Le schéma décentré amont prend la valeur en amont et stabilise le transport, au prix d’une diffusion supplémentaire.

Que contrôle le CFL ?

Le nombre de Courant–Friedrichs–Lewy relie le pas de temps, le pas de maillage et la vitesse : un pas trop grand rend le schéma explicite instable. À l’écran, le CFL apparaît à côté de Δt.

Volumes finis : advection et diffusion

Transport conservatif d’un scalaire sur un maillage 2D : flux à travers les faces, schéma décentré amont ou interpolation centrée, nombre de Péclet, CFL et diffusion numérique.

Frontières périodiques et pas de temps explicite tiré de limites CFL/diffusion simples. Les différences centrées peuvent onduler à grand nombre de Péclet ; le schéma décentré amont reste plus borné, mais plus diffusif.

Graphiques

À propos du modèle

Les volumes finis écrivent l’advection et la diffusion d’un scalaire comme un bilan de flux à travers les faces du volume de contrôle. On résout l’équation ∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ) sur un maillage bidimensionnel périodique ; les flux sont calculés sur les faces est, ouest, nord et sud. Le schéma décentré amont est plus dissipatif, mais préserve mieux le caractère borné ; les différences centrées sont plus nettes, mais peuvent osciller lorsque le nombre de Péclet de maille est grand. À l’écran : le champ scalaire, le vecteur vitesse, des exemples de flux, les nombres de Courant et de Péclet. On fait varier |u|, la direction, le coefficient de diffusion Γ et le choix du schéma.

Public : Calcul scientifique, mécanique des fluides numérique, équations aux dérivées partielles numériques et phénomènes de transport.

Notions clés

méthode des volumes finis
flux à travers une face
schéma décentré amont
différences centrées
nombre de Péclet
nombre de Courant

Comment ça marche

La méthode des volumes finis stocke la moyenne φ dans chaque maille et la met à jour par un bilan de flux à travers les faces : ∂φ/∂t + ∇·(uφ)=∇·(Γ∇φ). Sur une face, il faut choisir φ_f : le schéma décentré amont prend la valeur amont et reste stable, mais lisse la solution ; le schéma centré prend la moyenne des mailles voisines et donne un profil plus net, mais peut osciller si Pe=|u|Δx/Γ est grand. À l’écran : le champ scalaire, les flux de faces, le CFL et le nombre de Péclet.

Formules

∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ), intégrale sur chaque volume de contrôle

Flux de face : F_e φ_e − Γ(φ_E−φ_P)/Δx; Pe = |u|Δx/Γ

Questions fréquentes

Pourquoi la méthode des volumes finis calcule-t-elle les flux à travers les faces ?: La loi intégrale de conservation dit que la moyenne dans une maille change à cause du flux qui traverse ses frontières. Les flux numériques de face rendent la conservation locale et explicite.
Pourquoi les différences centrées peuvent-elles osciller ?: Quand l’advection domine la diffusion, le nombre de Péclet de maille est grand et l’interpolation centrée n’apporte pas assez d’amortissement numérique. Le schéma décentré amont prend la valeur en amont et stabilise le transport, au prix d’une diffusion supplémentaire.
Que contrôle le CFL ?: Le nombre de Courant–Friedrichs–Lewy relie le pas de temps, le pas de maillage et la vitesse : un pas trop grand rend le schéma explicite instable. À l’écran, le CFL apparaît à côté de Δt.

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