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Accueil/Visualisation mathématique/Portrait de phase (EDO 2D)

Portrait de phase (EDO 2D)

Champ de directions et trajectoires au clic : harmonique, amortissement, col, nœuds, foyers, pendule (RK4).

Plan de phase

Cliquez ou touchez la zone du graphe — la solution est construite en avant et en arrière dans le temps (RK4). R efface toutes les trajectoires.

1

Harmonique : x′=y, y′=−ω²x. L’amortissement ajoute −2ζωy. Col : x′=x, y′=−y. Nœud stable : x′=−x, y′=−y ; instable : x′=x, y′=y. Foyers — spirales linéaires fixées. Pendule : x=θ, y=ω, avec ω′=−sin θ.

Raccourcis clavier

  • •R — effacer toutes les trajectoires

Mesures

CasHarmonique
Trajectoires0

À propos du modèle

Le portrait de phase d’un système autonome plan montre l’état (x, y) sans axe du temps : où pointe le champ (f, g) pour x′ = f(x, y), y′ = g(x, y). La grille de flèches courtes est le champ de directions ; la longueur est normalisée pour lire la direction, non le module. Un clic fixe le point initial ; la méthode de Runge–Kutta d’ordre 4 intègre en avant et en arrière jusqu’à ce que la trajectoire quitte la fenêtre. Cas : oscillateur harmonique non amorti (centre, courbes fermées), oscillateur linéaire amorti (ζ fixe la spirale vers un foyer stable), col, nœuds stable et instable, foyers stable et instable, pendule idéal θ′ = ω, ω′ = −sin θ (x — angle, y — vitesse angulaire). Les équilibres sont marqués par des points jaunes. Pas de bifurcations, ni d’isoclines nulles, ni de recherche de cycles limites : une image qualitative dans le plan.

Public : Cours d’EDO et de systèmes dynamiques : équilibres, linéarisation et analyse qualitative avant les graphes x(t).

Notions clés

  • plan de phase
  • système autonome
  • champ de directions
  • trajectoire
  • équilibre
  • col
  • foyer
  • centre

Comment ça marche

Plan (x, y) pour le système autonome x′ = f(x, y), y′ = g(x, y) : la grille de flèches est le champ de directions ; un clic lance RK4 en avant et en arrière depuis le point choisi. Cas : harmonique, amortissement (ζ), col, nœuds, foyers, pendule θ′ = ω, ω′ = −sin θ. Pour le pendule les axes portent θ et ω. Points jaunes — équilibres ; R efface toutes les trajectoires.

Formules

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)
Harmonique : x′ = y, y′ = −ω²x
Pendule : θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Questions fréquentes

Pourquoi la trajectoire s’arrête-t-elle au bord de la fenêtre ?
L’intégration s’arrête lorsque l’état quitte un cadre légèrement élargi autour des axes visibles. On évite ainsi que les calculs partent à l’infini le long des variétés instables du col.
Pourquoi, pour ζ = 0, le cas « amortissement » ressemble-t-il à un centre ?
À ζ nul, la partie linéaire coïncide avec l’oscillateur harmonique non amorti (échelle ω). Tout ζ > 0 même petit détruit les orbites fermées et donne une spirale vers l’origine.
Que signifient les points jaunes ?
Les positions d’équilibre, où f = g = 0. L’origine est marquée pour les cas linéaires ; pour le pendule s’ajoutent les angles ±π, où sin θ = 0.
Pourquoi intègre-t-on à la fois en avant et en arrière depuis le point du clic ?
Pour voir d’un coup toute l’orbite : le passé et le futur. Pour un centre on obtient une courbe fermée ; pour un col, des branches qui partent de part et d’autre.