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Inicio/Visualización matemática/Filtros IIR de Butterworth y Chebyshev

Filtros IIR de Butterworth y Chebyshev

Cálculo de pasa bajas y pasa altas de Butterworth y Chebyshev I/II: |H(f)|, fase, respuesta al impulso y polos–ceros en el plano z por la transformación bilineal.

Diseño del filtro

Familia

4
120Hz

Casos

Magnitudes medidas

familiaButterworth
orden4
f_c de diseño120Hz
f_{−3 dB} medida119.9Hz
n.º de polos / ceros4 / 4
¿estable?sí

Sobre el modelo

Los filtros de Butterworth y de Chebyshev I/II son prototipos analógicos clásicos: Butterworth tiene la banda de paso lo más plana posible; Chebyshev, un rizado uniforme en la banda de paso o en la de rechazo. El filtro IIR digital se obtiene por la transformación bilineal; se calculan pasa bajas y pasa altas. En pantalla: la respuesta en magnitud |H(f)|, la fase, la respuesta al impulso y los polos–ceros en el plano z. El orden, la frecuencia de corte y el rizado (en Chebyshev) colocan los polos dentro de la circunferencia unidad; la frecuencia analógica se mapea con la tangente, que se compensa con predistorsión de la escala. Hipótesis: sistema lineal e invariante, coeficientes ideales, sin cuantización ni ciclos límite.

Para quién: DSP, comunicaciones, ingeniería eléctrica: diseño de filtros digitales.

Conceptos clave

  • filtro de Butterworth
  • filtro de Chebyshev
  • filtro IIR
  • transformación bilineal
  • diagrama de polos y ceros
  • respuesta en magnitud

Cómo funciona

El prototipo analógico (Butterworth o Chebyshev I/II) pasa al plano z por la transformación bilineal. En las gráficas, |H(f)|, la fase y la respuesta al impulso; en el plano complejo, polos dentro de la circunferencia unidad y ceros. El orden y la frecuencia de corte mueven los polos; el rizado de Chebyshev estrecha la banda de transición a costa de que |H(f)| deje de ser plana.

Fórmulas principales

Butterworth: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + (Ω/Ωc)^{2N})
Chebyshev I: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + ε² Tₙ²(Ω/Ωp)), ε = √(10^{R_p/10} − 1)
Bilinear: z = (1 + sT/2) / (1 − sT/2), pre-warp Ωc = (2/T) tan(ωc/2)

Preguntas frecuentes

¿Por qué Chebyshev tiene rizado y a menudo basta un orden menor?
Permitir un error uniforme en la banda de paso (tipo I) o en la de rechazo (tipo II) aprovecha mejor el presupuesto de aproximación que el Butterworth lo más plano posible, así que el mismo ancho de transición suele alcanzarse con menos polos.
¿Qué hace la transformación bilineal?
Mapea el semiplano izquierdo estable de s al interior del círculo unidad en z mediante z = (1+s)/(1−s) (con la escala de la frecuencia de muestreo), conserva la estabilidad y curva las frecuencias analógicas según una ley tangente; eso se compensa con predistorsión.
¿Para qué mirar polos y ceros, y no solo |H(f)|?
Los polos cerca de la circunferencia unidad dan resonancias agudas y una cola larga de la respuesta al impulso; los ceros recortan rechazos. El plano z explica el margen de estabilidad y los transitorios que una sola curva de magnitud oculta.