Por que Chebyshev tem ondulação e muitas vezes basta uma ordem menor?

Admitir um erro uniforme na banda passante (tipo I) ou na de rejeição (tipo II) aproveita melhor o orçamento de aproximação do que o Butterworth o mais plano possível, de modo que a mesma largura de transição costuma ser atingida com menos polos.

O que faz a transformação bilinear?

Ela mapeia o semiplano esquerdo estável de s para o interior do círculo unitário em z por z = (1+s)/(1−s) (com a escala da frequência de amostragem), conserva a estabilidade e curva as frequências analógicas segundo uma lei tangente; isso se compensa com pré-distorção.

Para que olhar polos e zeros, e não só |H(f)|?

Polos perto da circunferência unitária dão ressonâncias nítidas e uma cauda longa da resposta ao impulso; zeros recortam rejeições. O plano z explica a margem de estabilidade e os transitórios que uma só curva de magnitude esconde.

Filtros IIR Butterworth e Chebyshev

Cálculo de passa-baixas e passa-altas de Butterworth e Chebyshev I/II: |H(f)|, fase, resposta ao impulso e polos–zeros no plano z pela transformação bilinear.

Sobre o modelo

Os filtros IIR de Butterworth e de Chebyshev I/II são protótipos analógicos clássicos: Butterworth tem a banda passante o mais plana possível; Chebyshev, ondulação uniforme na banda passante ou na de rejeição. O filtro IIR digital obtém-se pela transformação bilinear; calculam-se passa-baixas e passa-altas. Na tela: a resposta em magnitude |H(f)|, a fase, a resposta ao impulso e os polos–zeros no plano z. A ordem, a frequência de corte e a ondulação (em Chebyshev) colocam os polos dentro da circunferência unitária; a frequência analógica mapeia-se com a tangente, compensada por pré-distorção da escala. Hipóteses: sistema linear e invariante, coeficientes ideais, sem quantização nem ciclos-limite.

Para quem: DSP, comunicações, engenharia elétrica: projeto de filtros digitais.

Conceitos-chave

filtro de Butterworth
filtro de Chebyshev
filtro IIR
transformação bilinear
diagrama de polos e zeros
resposta em magnitude

Como funciona

O protótipo analógico (Butterworth ou Chebyshev I/II) passa ao plano z pela transformação bilinear. Nos gráficos, |H(f)|, a fase e a resposta ao impulso; no plano complexo, polos dentro da circunferência unitária e zeros. A ordem e a frequência de corte movem os polos; a ondulação de Chebyshev estreita a banda de transição à custa de |H(f)| deixar de ser plana.

Fórmulas principais

Butterworth: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + (Ω/Ωc)^{2N})

Chebyshev I: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + ε² Tₙ²(Ω/Ωp)), ε = √(10^{R_p/10} − 1)

Bilinear: z = (1 + sT/2) / (1 − sT/2), pre-warp Ωc = (2/T) tan(ωc/2)

Perguntas frequentes

Por que Chebyshev tem ondulação e muitas vezes basta uma ordem menor?: Admitir um erro uniforme na banda passante (tipo I) ou na de rejeição (tipo II) aproveita melhor o orçamento de aproximação do que o Butterworth o mais plano possível, de modo que a mesma largura de transição costuma ser atingida com menos polos.
O que faz a transformação bilinear?: Ela mapeia o semiplano esquerdo estável de s para o interior do círculo unitário em z por z = (1+s)/(1−s) (com a escala da frequência de amostragem), conserva a estabilidade e curva as frequências analógicas segundo uma lei tangente; isso se compensa com pré-distorção.
Para que olhar polos e zeros, e não só |H(f)|?: Polos perto da circunferência unitária dão ressonâncias nítidas e uma cauda longa da resposta ao impulso; zeros recortam rejeições. O plano z explica a margem de estabilidade e os transitórios que uma só curva de magnitude esconde.

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