Por que o esquema explícito explode se r > 1/2?

Os modos de Fourier do erro se multiplicam a cada passo por G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Para modos de alta frequência e r > 1/2 fica |G| > 1, de modo que até o arredondamento ou um ruído xadrez pequeno crescem, embora a equação do calor verdadeira devesse suavizar tudo.

Se o implícito é estável para qualquer r, por que não tomar um passo enorme?

Estabilidade não é precisão. Um r grande amortece demais os modos e pode espalhar o transitório. Os métodos implícitos permitem passos estáveis grandes, mas Δt continua a ser escolhido pela precisão pedida e pelos tempos característicos do problema.

Que condições de contorno se usam?

Nas duas extremidades está u = 0 (condições de Dirichlet homogêneas), como numa barra cujas pontas estão fixas a um banho térmico. As fórmulas aplicam-se só aos nós interiores da malha.

Equação do calor: diferenças finitas

Equação unidimensional u_t = αu_xx: FTCS explícito e Euler implícito retrógrado; mude r = αΔt/Δx², veja a explosão do esquema explícito se r > 1/2 e compare a difusão numérica.

Sobre o modelo

A equação do calor u_t = α u_xx descreve o igualamento da temperatura ao longo de uma barra. No segmento 0 ≤ x ≤ 1 as extremidades estão fixas: u = 0. A segunda derivada é substituída pela diferença padrão numa malha uniforme; o parâmetro adimensional principal é o número de difusão r = αΔt/Δx². O esquema explícito FTCS: u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i-1}^n − 2u_i^n + u_{i+1}^n); a análise de von Neumann dá o limite de estabilidade r ≤ 1/2. Se r > 1/2 as componentes alternadas de alta frequência crescem — a explosão «em dente de serra» típica. O Euler implícito retrógrado resolve (I − rL)u^{n+1} = u^n por eliminação tridiagonal: para a difusão é incondicionalmente estável, um r grande não explode, mas o perfil se espalha mais. O gráfico de cima é o perfil atual; a faixa de baixo, o histórico recente.

Para quem: Métodos numéricos para equações diferenciais parciais: diferenças finitas, estabilidade, esquemas explícitos e implícitos.

Conceitos-chave

equação do calor
diferenças finitas
FTCS
Euler retrógrado
condição de Courant
estabilidade de von Neumann
algoritmo de Thomas
difusão numérica

Como funciona

Equação do calor u_t = αu_xx numa barra unidimensional com u=0 nas extremidades. O FTCS explícito usa r = αΔt/Δx² e só é estável se r ≤ 1/2; com r maior um ruído xadrez pequeno explode. O Euler implícito retrógrado resolve um sistema tridiagonal e não explode, mas suaviza mais.

Fórmulas principais

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Perguntas frequentes

Por que o esquema explícito explode se r > 1/2?: Os modos de Fourier do erro se multiplicam a cada passo por G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Para modos de alta frequência e r > 1/2 fica |G| > 1, de modo que até o arredondamento ou um ruído xadrez pequeno crescem, embora a equação do calor verdadeira devesse suavizar tudo.
Se o implícito é estável para qualquer r, por que não tomar um passo enorme?: Estabilidade não é precisão. Um r grande amortece demais os modos e pode espalhar o transitório. Os métodos implícitos permitem passos estáveis grandes, mas Δt continua a ser escolhido pela precisão pedida e pelos tempos característicos do problema.
Que condições de contorno se usam?: Nas duas extremidades está u = 0 (condições de Dirichlet homogêneas), como numa barra cujas pontas estão fixas a um banho térmico. As fórmulas aplicam-se só aos nós interiores da malha.

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