Éléments P1 triangulaires pour −Δu = f sur le carré : assemblage des matrices de rigidité, nœuds de Dirichlet imposés ou flux naturel de Neumann, résolution par le gradient conjugué, potentiel comme membrane colorée.
À propos du modèle
L’équation de Poisson −Δu = f sur le carré unité se résout par la méthode des éléments finis. Le domaine est découpé en un maillage triangulaire régulier ; sur chaque triangle, les fonctions de base sont linéaires (P1). La matrice de rigidité locale s’assemble à partir des gradients de la base, Kᵉ_ij = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A), puis s’ajoute au système global creux. La source s’intègre au barycentre. Sous conditions de Dirichlet, tous les nœuds du bord sont imposés : u = 0, comme une membrane enserrée dans un cadre. En régime mixte, les côtés gauche et droit restent de Dirichlet, tandis que le haut et le bas versent des flux de Neumann naturels dans le second membre. Le système symétrique défini positif se résout par la méthode du gradient conjugué. À gauche, le potentiel est coloré triangle par triangle ; à droite, le même champ est relevé comme une membrane déformable.
Public : Équations aux dérivées partielles numériques et mécanique numérique : formulation faible, triangles P1, conditions de Dirichlet et de Neumann.
Notions clés
méthode des éléments finis
équation de Poisson
maillage triangulaire
élément P1
formulation faible
condition de Dirichlet
condition de Neumann
méthode du gradient conjugué
Comment ça marche
L’équation −Δu = f sur le carré : le domaine est découpé en triangles P1, les matrices de rigidité locales s’assemblent dans le système global. La condition de Dirichlet impose les nœuds ; celle de Neumann ajoute un flux au second membre. La solution par le gradient conjugué apparaît comme potentiel coloré et comme hauteur de membrane.
Formules
Weak form: find u such that ∫Ω ∇u·∇v dΩ = ∫Ω f v dΩ + ∫Γ_N g v ds. P1 triangles give local stiffness K_ij^e = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A); Dirichlet values are pinned.
Questions fréquentes
Que décrit physiquement −Δu = f ?
Le potentiel électrostatique associé à une densité de charge, la conduction thermique stationnaire avec sources, ou la flèche d’une membrane sous charge. Les interprétations changent ; l’opérateur elliptique et les conditions aux limites restent les mêmes.
Pourquoi les conditions de Neumann sont-elles dites naturelles en MEF ?
Après intégration par parties, les termes de flux entrent dans le second membre comme ∫_Γ_N g v ds. Les valeurs de Dirichlet doivent s’imposer en bloquant des degrés de liberté ; les données de Neumann entrent directement comme une charge.
S’agit-il d’un code industriel d’éléments finis ?
Non. C’est un modèle pédagogique sur un maillage triangulaire structuré, avec une quadrature simple et un gradient conjugué élémentaire. Les codes industriels ajoutent la génération de maillages, des éléments d’ordre élevé, le préconditionnement, une estimation d’erreur et des géométries complexes.