¿Por qué el esquema explícito estalla si r > 1/2?

Los modos de Fourier del error se multiplican en cada paso por G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Para modos de alta frecuencia y r > 1/2 queda |G| > 1, así que hasta el redondeo o un ruido de damero chico crecen, aunque la ecuación del calor verdadera debería suavizarlo todo.

Si el implícito es estable para cualquier r, ¿por qué no tomar un paso enorme?

Estabilidad no es exactitud. Un r grande amortigua de más los modos y puede emborronar el transitorio. Los métodos implícitos permiten pasos estables grandes, pero Δt se sigue eligiendo por la exactitud pedida y los tiempos característicos del problema.

¿Qué condiciones de frontera se usan?

En ambos extremos está u = 0 (condiciones de Dirichlet homogéneas), como en una barra cuyos extremos están fijos a un baño térmico. Las fórmulas se aplican solo a los nodos interiores de la malla.

Ecuación del calor: diferencias finitas

Ecuación unidimensional u_t = αu_xx: FTCS explícito y Euler implícito hacia atrás; se cambia r = αΔt/Δx², se ve el estallido del esquema explícito si r > 1/2 y se compara la difusión numérica.

Sobre el modelo

La ecuación del calor u_t = α u_xx describe cómo se iguala la temperatura a lo largo de una barra. En el segmento 0 ≤ x ≤ 1 los extremos están fijos: u = 0. La segunda derivada se reemplaza por la diferencia estándar en una malla uniforme; el parámetro adimensional principal es el número de difusión r = αΔt/Δx². El esquema explícito FTCS: u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i-1}^n − 2u_i^n + u_{i+1}^n); el análisis de von Neumann da el tope de estabilidad r ≤ 1/2. Si r > 1/2 las componentes alternadas de alta frecuencia crecen — el estallido «en sierra» típico. El Euler implícito hacia atrás resuelve (I − rL)u^{n+1} = u^n por eliminación tridiagonal: para la difusión es incondicionalmente estable, un r grande no estalla, pero el perfil se emborrona más. La gráfica de arriba es el perfil actual; la franja de abajo, la historia reciente.

Para quién: Métodos numéricos para ecuaciones en derivadas parciales: diferencias finitas, estabilidad, esquemas explícitos e implícitos.

Conceptos clave

ecuación del calor
diferencias finitas
FTCS
Euler hacia atrás
condición de Courant
estabilidad de von Neumann
eliminación tridiagonal
difusión numérica

Cómo funciona

Ecuación del calor u_t = αu_xx en una barra unidimensional con u=0 en los extremos. El FTCS explícito usa r = αΔt/Δx² y solo es estable si r ≤ 1/2; con un r mayor un ruido de damero chico estalla. El Euler implícito hacia atrás resuelve un sistema tridiagonal y no estalla, pero suaviza más.

Fórmulas principales

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el esquema explícito estalla si r > 1/2?: Los modos de Fourier del error se multiplican en cada paso por G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Para modos de alta frecuencia y r > 1/2 queda |G| > 1, así que hasta el redondeo o un ruido de damero chico crecen, aunque la ecuación del calor verdadera debería suavizarlo todo.
Si el implícito es estable para cualquier r, ¿por qué no tomar un paso enorme?: Estabilidad no es exactitud. Un r grande amortigua de más los modos y puede emborronar el transitorio. Los métodos implícitos permiten pasos estables grandes, pero Δt se sigue eligiendo por la exactitud pedida y los tiempos característicos del problema.
¿Qué condiciones de frontera se usan?: En ambos extremos está u = 0 (condiciones de Dirichlet homogéneas), como en una barra cuyos extremos están fijos a un baño térmico. Las fórmulas se aplican solo a los nodos interiores de la malla.

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