Pourquoi utilise-t-on l’équation test y′ = λy ?

Près d’un point stationnaire, beaucoup de systèmes se linéarisent en modes du type e^{λt}. La méthode numérique applique à chaque mode son facteur R(hλ) : le test scalaire montre vite si un mode continu amorti s’amortit aussi dans le schéma discret.

Pourquoi RK4 n’est-il pas stable pour tout λ réel négatif ?

Les domaines de stabilité des Runge–Kutta explicites sont bornés. Sur l’axe réel négatif, RK4 va environ jusqu’à z ≈ −2,785. Si λ est très négatif, hλ quitte le domaine à moins de prendre h petit. C’est la limite typique du pas explicite pour un amortissement raide.

Être dans le domaine de stabilité garantit-il la précision ?

Non. La stabilité dit seulement que le mode discret ne croît pas artificiellement. Avec un h trop grand, la solution peut être stable mais inexacte ; la précision reste celle de l’erreur d’approximation et de la régularité du problème.

Domaines de stabilité de Runge–Kutta

Stabilité absolue dans le plan z = hλ pour Euler explicite, RK2 et RK4 : déplacez λ et h, comparez |R(z)| et voyez pourquoi les modes raides imposent de petits pas explicites.

À propos du modèle

Pour l’équation test linéaire y′ = λy, une méthode à un pas et pas fixe donne la transition yₙ₊₁ = R(z) yₙ, où z = hλ. La méthode est absolument stable au point z si les pas répétés n’amplifient pas le mode : |R(z)| ≤ 1. Dans le plan complexe z sont colorés les domaines de stabilité de la méthode d’Euler explicite (R = 1 + z), de RK2 (R = 1 + z + z²/2) et de RK4 classique (R = 1 + z + z²/2 + z³/6 + z⁴/24). Les curseurs déplacent λ et h, donc le point z = hλ se déplace sur la carte ; un second point multiplie la partie réelle par un facteur de raideur et montre qu’un mode amorti rapide peut sortir du domaine, même si le mode lent est encore sûr. C’est le lien entre les formules de Runge–Kutta, le coefficient d’amplification et la restriction du pas pour les EDO raides et les semi-discrétisations d’EDP.

Public : Méthodes numériques : stabilité, EDO raides, schémas explicites de Runge–Kutta.

Notions clés

méthode de Runge–Kutta
stabilité absolue
fonction de stabilité
méthode d’Euler
RK2
RK4
EDO raide
équation test

Comment ça marche

Pour le test y′ = λy, une méthode à un pas multiplie la solution par R(z), où z = hλ. Sont colorés les domaines |R(z)| ≤ 1 pour Euler, RK2, RK4 ; le point orange est le hλ courant, le rose un mode plus raide. Hors du domaine, le pas explicite amplifiera un mode qui devrait s’amortir.

Formules

Test equation y′ = λy, z = hλ. Stability functions: R_E = 1+z, R_RK2 = 1+z+z²/2, R_RK4 = 1+z+z²/2+z³/6+z⁴/24. Stable when |R(z)| ≤ 1.

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on l’équation test y′ = λy ?: Près d’un point stationnaire, beaucoup de systèmes se linéarisent en modes du type e^{λt}. La méthode numérique applique à chaque mode son facteur R(hλ) : le test scalaire montre vite si un mode continu amorti s’amortit aussi dans le schéma discret.
Pourquoi RK4 n’est-il pas stable pour tout λ réel négatif ?: Les domaines de stabilité des Runge–Kutta explicites sont bornés. Sur l’axe réel négatif, RK4 va environ jusqu’à z ≈ −2,785. Si λ est très négatif, hλ quitte le domaine à moins de prendre h petit. C’est la limite typique du pas explicite pour un amortissement raide.
Être dans le domaine de stabilité garantit-il la précision ?: Non. La stabilité dit seulement que le mode discret ne croît pas artificiellement. Avec un h trop grand, la solution peut être stable mais inexacte ; la précision reste celle de l’erreur d’approximation et de la régularité du problème.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Euler et RK4 (pendule simple)

Lancer la simulation

Une même équation non linéaire du pendule simple et un même pas h : méthode d’Euler explicite à côté de Runge–Kutta d’ordre 4.

NouveauCollège–lycée

Lotka–Volterra

Lancer la simulation

Modèle classique proie–prédateur : N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Plan de phase, intégration de Runge–Kutta, point d’équilibre (γ/δ, α/β).

NouveauUniversité

Équation de la chaleur : différences finies

Lancer la simulation

Équation 1D u_t = αu_xx : FTCS explicite et Euler implicite ; faites varier r = αΔt/Δx², observez l’explosion du schéma explicite pour r > 1/2 et comparez la diffusion numérique.

NouveauUniversité

Portrait de phase (EDO 2D)

Lancer la simulation

Champ de directions et trajectoires au clic : harmonique, amortissement, col, nœuds, foyers, pendule (RK4).

NouveauCollège–lycée

Modèle SIR d’épidémie

Lancer la simulation

S + I + R = 1 : βSI et γI ; ℛ₀ ≈ β/γ, seuil d’immunité collective 1 − 1/ℛ₀ ; graphe temporel RK4.

NouveauCollège–lycée

SEIR / SEIRS : épidémie

Lancer la simulation

S + E + I + R = 1 : la latence σE retarde la contagiosité, guérison γI ; optionnellement ωR → S ; ℛ₀ = β/γ ; graphe RK4.

Domaines de stabilité de Runge–Kutta

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Euler et RK4 (pendule simple)

Lotka–Volterra

Équation de la chaleur : différences finies

Portrait de phase (EDO 2D)

Modèle SIR d’épidémie

SEIR / SEIRS : épidémie

Domaines de stabilité de Runge–Kutta

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes