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Accueil/Visualisation mathématique/Figures de Lissajous

Figures de Lissajous

Deux oscillations harmoniques sur des axes perpendiculaires : x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Un rapport entier des fréquences donne une courbe fermée.

Paramètres

3
4
90
0.4

Raccourcis clavier

  • •Espace / Entrée — réinitialiser le point mobile

Mesures

Rapport ωₓ : ωᵧ3 : 4
φ90°

À propos du modèle

Les figures de Lissajous sont la trace d’un point dont les axes portent deux oscillations harmoniques : x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t). La forme est fixée par le rapport des fréquences ωₓ : ωᵧ et le déphasage φ. Pour un rapport rationnel (1:1, 1:2, 2:3, 3:4) la courbe est fermée et périodique. Pour un rapport irrationnel, la trajectoire ne se referme pas et finit par remplir le rectangle. À fréquences égales, la phase 0° donne un segment, 90° un cercle, les valeurs intermédiaires une ellipse. Ici les amplitudes valent 1, il n’y a pas d’amortissement — contrairement à l’harmonographe, la boucle ne se resserre pas. On obtient de telles figures à l’oscilloscope en envoyant deux signaux sur les entrées X et Y.

Public : Algèbre et analyse ; oscillations : équations paramétriques et composition d’harmoniques perpendiculaires.

Notions clés

  • figures de Lissajous
  • équations paramétriques
  • rapport des fréquences
  • déphasage
  • oscillations harmoniques
  • courbe fermée

Comment ça marche

Figure de Lissajous paramétrique : x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Les rapports entiers des fréquences donnent des courbes fermées ; la phase φ change la forme. Le point jaune parcourt la courbe. À l’oscilloscope on compare ainsi deux signaux harmoniques.

Formules

x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t)

Questions fréquentes

Pourquoi tantôt un « huit » fermé, tantôt un gribouillis ?
Une figure fermée n’apparaît que pour un rapport rationnel des fréquences ωₓ : ωᵧ (par exemple 3:2). Alors le point revient, en un temps fini, à la même phase. Pour un rapport irrationnel il n’existe pas de période commune, et la trace remplit peu à peu le rectangle.
Que change la phase à fréquences égales ?
Lorsque ωₓ = ωᵧ, le déphasage φ fixe la forme de l’ellipse. Pour φ = 0° (ou 180°) c’est un segment selon la diagonale ; à 90° — un cercle (ici les amplitudes sont égales) ; aux autres angles — une ellipse.
Où rencontre-t-on les figures de Lissajous en pratique ?
À l’oscilloscope on envoie deux signaux sur X et Y et l’on compare, d’après la figure, les fréquences et le déphasage. Les mêmes courbes apparaissent pour deux oscillations mécaniques perpendiculaires.