Por que na onda quadrada, perto do salto, sobra um «chifre», por mais harmônicas que se acrescentem?

É o fenômeno de Gibbs. Junto ao descontínuo a soma parcial oscila: a amplitude do pico não vai a zero, só a largura se estreita. Em média a série converge; no próprio ponto do salto ela dá a média dos limites à esquerda e à direita.

Por que a triangular precisa de menos termos que a quadrada?

A triangular é contínua e os coeficientes caem como 1/k²; a quadrada tem saltos e os coeficientes vão como 1/k. Quanto mais regular a função, mais depressa converge a série de Fourier.

Em que a série de Fourier difere do espectro FFT?

A série decompõe uma função periódica numa soma infinita de harmônicas. A FFT é a transformada discreta de uma janela finita de amostras. Aqui o sinal é montado a partir das harmônicas; o espectro FFT decompõe uma janela de amostras já dada.

Séries de Fourier

A função periódica decompõe-se em soma de harmônicas — senos e cossenos de frequências múltiplas. Mude o número de termos e compare a soma parcial com a onda quadrada, o dente de serra ou a triangular.

Sobre o modelo

As séries de Fourier escrevem uma função periódica como soma de harmônicas: senos e cossenos com frequências múltiplas da fundamental. A soma parcial converge à forma escolhida: na onda quadrada entram senos ímpares com amplitudes 4/(π(2k−1)); no dente de serra, termos sin(nt)/n; na triangular, senos ímpares com 1/k². Junto a um salto (quadrada, dente de serra) resta o fenômeno de Gibbs: um pico local que não some quando n cresce, só se estreita. O triângulo, mais regular, converge mais depressa. Na tela o tracejado é o limite ideal e a curva contínua é a soma parcial; a fase pode deslocar-se no tempo. O modelo é ideal: série trigonométrica finita, sem ruído e sem vazamento espectral.

Para quem: Cálculo e teoria dos sinais: séries de Fourier, harmônicas, convergência das somas parciais.

Conceitos-chave

série de Fourier
harmônica
soma parcial
onda quadrada
fenômeno de Gibbs
função periódica

Como funciona

A meta periódica (onda quadrada, dente de serra, triangular) é aproximada por uma soma finita de Fourier. Onda quadrada: senos ímpares (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1); dente de serra: (2/π) Σ (−1)^{n+1} sin(nt)/n; triangular: senos ímpares com 1/k². Mais termos melhoram a aproximação; junto aos saltos permanece o fenômeno de Gibbs. Tracejado — o ideal; contínua — a soma parcial; a animação desloca a fase.

Fórmulas principais

Onda quadrada: (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1)

Perguntas frequentes

Por que na onda quadrada, perto do salto, sobra um «chifre», por mais harmônicas que se acrescentem?: É o fenômeno de Gibbs. Junto ao descontínuo a soma parcial oscila: a amplitude do pico não vai a zero, só a largura se estreita. Em média a série converge; no próprio ponto do salto ela dá a média dos limites à esquerda e à direita.
Por que a triangular precisa de menos termos que a quadrada?: A triangular é contínua e os coeficientes caem como 1/k²; a quadrada tem saltos e os coeficientes vão como 1/k. Quanto mais regular a função, mais depressa converge a série de Fourier.
Em que a série de Fourier difere do espectro FFT?: A série decompõe uma função periódica numa soma infinita de harmônicas. A FFT é a transformada discreta de uma janela finita de amostras. Aqui o sinal é montado a partir das harmônicas; o espectro FFT decompõe uma janela de amostras já dada.

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