¿Por qué en la onda cuadrada queda un «cuerno» junto al salto, por más armónicos que se añadan?

Es el fenómeno de Gibbs. En una discontinuidad la suma parcial oscila: la amplitud del pico no tiende a cero, solo se estrecha su ancho. En media la serie converge; en el punto del salto da el promedio de los límites izquierdo y derecho.

¿Por qué a la triangular le bastan menos términos que a la onda cuadrada?

La triangular es continua y los coeficientes caen como 1/k²; la cuadrada tiene saltos y los coeficientes van como 1/k. Cuanto más suave es la función, más rápido converge la serie de Fourier.

¿En qué se diferencia la serie de Fourier del espectro FFT?

La serie descompone una función periódica en una suma infinita de armónicos. La FFT es la transformada discreta de una ventana finita de muestras. Aquí se arma la señal a partir de armónicos; el espectro FFT descompone un búfer ya dado.

Series de Fourier

Una función periódica se descompone en una suma de armónicos — senos y cosenos de frecuencias múltiplas. Cambie el número de términos y compare la suma parcial con la onda cuadrada, el diente de sierra o la triangular.

Sobre el modelo

La serie de Fourier representa una función periódica como suma de armónicos: senos y cosenos con frecuencias múltiplas de la fundamental. La suma parcial converge a la forma elegida: para la onda cuadrada se toman senos impares con amplitudes 4/(π(2k−1)), para el diente de sierra — términos sin(nt)/n, para la triangular — senos impares con 1/k². Cerca de una discontinuidad (cuadrada, sierra) queda el fenómeno de Gibbs: un pico local que no desaparece al crecer n, solo se estrecha. El triángulo, que es suave, converge más rápido. En pantalla, la punteada es el límite ideal y la curva continua, la suma parcial; la fase se puede desplazar en el tiempo. El modelo es ideal: serie trigonométrica finita, sin ruido y sin fuga espectral.

Para quién: Análisis matemático y teoría de señales: series de Fourier, armónicos, convergencia de sumas parciales.

Conceptos clave

serie de Fourier
armónico
suma parcial
onda cuadrada
fenómeno de Gibbs
función periódica

Cómo funciona

La forma periódica (onda cuadrada, diente de sierra, triangular) se aproxima con una suma de Fourier finita. Cuadrada: senos impares (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1); sierra: (2/π) Σ (−1)^{n+1} sin(nt)/n; triangular: senos impares con 1/k². Al crecer el número de términos mejora la aproximación; en los saltos queda el fenómeno de Gibbs. La punteada es el ideal, la continua — la suma parcial; la animación desplaza la fase.

Fórmulas principales

Onda cuadrada: (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1)

Preguntas frecuentes

¿Por qué en la onda cuadrada queda un «cuerno» junto al salto, por más armónicos que se añadan?: Es el fenómeno de Gibbs. En una discontinuidad la suma parcial oscila: la amplitud del pico no tiende a cero, solo se estrecha su ancho. En media la serie converge; en el punto del salto da el promedio de los límites izquierdo y derecho.
¿Por qué a la triangular le bastan menos términos que a la onda cuadrada?: La triangular es continua y los coeficientes caen como 1/k²; la cuadrada tiene saltos y los coeficientes van como 1/k. Cuanto más suave es la función, más rápido converge la serie de Fourier.
¿En qué se diferencia la serie de Fourier del espectro FFT?: La serie descompone una función periódica en una suma infinita de armónicos. La FFT es la transformada discreta de una ventana finita de muestras. Aquí se arma la señal a partir de armónicos; el espectro FFT descompone un búfer ya dado.

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