Почему у меандра около скачка остаётся «рожок», сколько ни добавляй гармоник?

Это выброс Гиббса. У разрыва частичная сумма осциллирует: амплитуда всплеска не стремится к нулю, сужается только его ширина. В среднем ряд сходится; в самой точке скачка он даёт среднее левого и правого пределов.

Почему треугольнику нужно меньше членов, чем меандру?

Треугольник непрерывен, коэффициенты падают как 1/k²; у меандра есть разрывы, коэффициенты как 1/k. Чем глаже функция, тем быстрее сходится ряд Фурье.

Чем ряд Фурье отличается от спектра БПФ?

Ряд — разложение периодической функции в бесконечную сумму гармоник. БПФ — дискретное преобразование конечного окна отсчётов. Здесь сигнал собирают из гармоник; спектр FFT раскладывает уже заданный буфер.

Ряды Фурье

Периодическую функцию раскладывают в сумму гармоник — синусов и косинусов кратных частот. Меняйте число членов и сравнивайте частичную сумму с меандром, пилой или треугольником.

О модели

Ряд Фурье представляет периодическую функцию как сумму гармоник: синусов и косинусов с частотами, кратными основной. Частичная сумма сходится к выбранной форме: для меандра берут нечётные синусы с амплитудами 4/(π(2k−1)), для пилы — члены sin(nt)/n, для треугольника — нечётные синусы с 1/k². Вблизи разрыва (меандр, пила) остаётся выброс Гиббса: локальный всплеск не исчезает при росте n, а только сужается. Гладкий треугольник сходится быстрее. На экране пунктир — идеальный предел, сплошная кривая — частичная сумма; фазу можно сдвигать во времени. Модель идеальна: конечный тригонометрический ряд без шума и без утечки спектра.

Для кого: Математический анализ и теория сигналов: ряды Фурье, гармоники, сходимость частичных сумм.

Ключевые понятия

ряд Фурье
гармоника
частичная сумма
меандр
выброс Гиббса
периодическая функция

Как это работает

Периодическую цель (меандр, пила, треугольник) приближают конечной суммой Фурье. Меандр: нечётные синусы (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1); пила: (2/π) Σ (−1)^{n+1} sin(nt)/n; треугольник: нечётные синусы с 1/k². Рост числа членов улучшает приближение; у разрывов остаётся выброс Гиббса. Пунктир — идеал, сплошная — частичная сумма; анимация сдвигает фазу.

Основные формулы

Меандр: (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1)

Часто задаваемые вопросы

Почему у меандра около скачка остаётся «рожок», сколько ни добавляй гармоник?: Это выброс Гиббса. У разрыва частичная сумма осциллирует: амплитуда всплеска не стремится к нулю, сужается только его ширина. В среднем ряд сходится; в самой точке скачка он даёт среднее левого и правого пределов.
Почему треугольнику нужно меньше членов, чем меандру?: Треугольник непрерывен, коэффициенты падают как 1/k²; у меандра есть разрывы, коэффициенты как 1/k. Чем глаже функция, тем быстрее сходится ряд Фурье.
Чем ряд Фурье отличается от спектра БПФ?: Ряд — разложение периодической функции в бесконечную сумму гармоник. БПФ — дискретное преобразование конечного окна отсчётов. Здесь сигнал собирают из гармоник; спектр FFT раскладывает уже заданный буфер.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

Школьные

Фигуры Лиссажу

Запустить симулятор

Два гармонических колебания по взаимно перпендикулярным осям: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Целое отношение частот даёт замкнутую кривую.

НовоеШкольные

Ряд Тейлора

Запустить симулятор

Сравните sin, cos или exp с многочленом Тейлора порядка n в окрестности точки a.

ПопулярноеШкольные

Тригонометрический круг

Запустить симулятор

Единичная окружность: sin θ, cos θ и tg θ как координаты и отношение при движении точки.

Школьные

Стоячие волны

Запустить симулятор

Стоячие волны на закреплённой струне: гармоники, узлы и пучности.

НовоеШкольные

Волновой пакет и дисперсия

Запустить симулятор

Суперпозиция cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; расплывание пакета по сравнению с волной на струне.

НовоеШкольные

Комплексный фазор

Запустить симулятор

Точка e^{i(ωt+φ)} на единичной окружности; проекции Re, Im и фаза φ.

Ряды Фурье

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Фигуры Лиссажу

Ряд Тейлора

Тригонометрический круг

Стоячие волны

Волновой пакет и дисперсия

Комплексный фазор

Ряды Фурье

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы