Por que na predefinição «seno» há uma única barra alta?

Se o seno cabe num número inteiro de períodos exatamente em N amostras, a energia coincide com um único vetor da base da DFT (mais o espelho em k e N−k). O pico é estreito. Se se desenha um «quase seno» com número fracionário de períodos, a energia espalha-se pelos bins vizinhos — vazamento da janela retangular implícita.

Por que no impulso o espectro é largo, e não um único pico?

Uma única amostra não nula é o análogo discreto de um impulso muito curto. Localização curta no tempo dá espectro largo. Ao contrário, um tom de banda estreita precisa de muitas oscilações na janela — a mesma reciprocidade de duração e largura da transformada contínua.

As barras são potência ou amplitude?

Mostra-se o módulo do coeficiente complexo: |X[k]| = √(Re² + Im²). A altura está normalizada pelo máximo; os valores absolutos da componente contínua, do k dominante e de Nyquist estão no painel lateral.

O que é a frequência de Nyquist neste gráfico?

O último bin k = N/2. Acima dele as harmônicas nesta malha não se distinguem das mais baixas (sobreposição de espectros). Para sinal real o espectro é simétrico, por isso mostram-se só 0 … N/2.

Espectro FFT

Desenhe ou escolha uma predefinição de 256 amostras; FFT em base 2 — |X[k]| nos bins da componente contínua até a frequência de Nyquist.

Sobre o modelo

O espectro FFT mostra que fração de cada frequência senoidal há numa sequência finita de amostras. Toma-se N = 256 amostras reais x[n], calcula-se a transformada rápida de Fourier (FFT) em base 2 e desenham-se os módulos |X[k]| nos bins k = 0 … N/2: componente contínua, frequências positivas e o bin de Nyquist. O painel de cima é o sinal no tempo: predefinições (seno com número inteiro de períodos na janela, dois tons, onda quadrada, impulso, ruído) ou desenho com o mouse — o registro no modo «próprio». As barras do espectro estão normalizadas pelo máximo, para comparar a distribuição relativa de energia. A série de Fourier monta um sinal periódico a partir das harmônicas; aqui é análise em frequência numa janela de comprimento fixo. Se o número de períodos na janela não for inteiro, a energia vaza para bins vizinhos (vazamento espectral da janela retangular implícita).

Para quem: Sinais e sistemas, métodos numéricos ou laboratório de análise espectral; depois da série de Fourier — a DFT visível.

Conceitos-chave

transformada discreta de Fourier
transformada rápida de Fourier (FFT)
bin de frequência
componente contínua
frequência de Nyquist
espectro de amplitude
vazamento espectral

Como funciona

Tomam-se 256 amostras reais x[n] (predefinição ou desenho na curva de cima). A FFT dá X[k]; mostram-se os módulos |X[k]| para k = 0 … N/2, inclusive Nyquist. Um seno com número inteiro de períodos na janela concentra a energia num único bin; um impulso curto alarga o espectro — a mesma reciprocidade tempo–frequência da transformada contínua de Fourier.

Fórmulas principais

X[k] = Σ_{n=0}^{N−1} x[n] · e^{−2π i kn/N}

|X[k]| = √(Re² + Im²) · k = 0 … N/2

Perguntas frequentes

Por que na predefinição «seno» há uma única barra alta?: Se o seno cabe num número inteiro de períodos exatamente em N amostras, a energia coincide com um único vetor da base da DFT (mais o espelho em k e N−k). O pico é estreito. Se se desenha um «quase seno» com número fracionário de períodos, a energia espalha-se pelos bins vizinhos — vazamento da janela retangular implícita.
Por que no impulso o espectro é largo, e não um único pico?: Uma única amostra não nula é o análogo discreto de um impulso muito curto. Localização curta no tempo dá espectro largo. Ao contrário, um tom de banda estreita precisa de muitas oscilações na janela — a mesma reciprocidade de duração e largura da transformada contínua.
As barras são potência ou amplitude?: Mostra-se o módulo do coeficiente complexo: |X[k]| = √(Re² + Im²). A altura está normalizada pelo máximo; os valores absolutos da componente contínua, do k dominante e de Nyquist estão no painel lateral.
O que é a frequência de Nyquist neste gráfico?: O último bin k = N/2. Acima dele as harmônicas nesta malha não se distinguem das mais baixas (sobreposição de espectros). Para sinal real o espectro é simétrico, por isso mostram-se só 0 … N/2.

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