Pourquoi la règle du triangle donne-t-elle le même résultat que l’addition des projections ?

Ce sont deux façons de réaliser la même opération. La construction géométrique du triangle et l’addition des projections sur les axes sont équivalentes et donnent le même vecteur R.

Peut-on changer l’ordre de l’addition ?

Oui. L’addition des vecteurs est commutative : A + B = B + A. Sur le dessin, on peut permuter les côtés du triangle ou du parallélogramme — la résultante est la même.

Où en a-t-on besoin en physique ?

Pour additionner des forces, des vitesses, des quantités de mouvement, des déplacements. Les projections comptent surtout lorsque les vecteurs forment un angle et ne sont pas portés par le même axe.

Addition de vecteurs

Deux vecteurs dans le plan : règle du triangle et addition des projections, norme et direction de la résultante.

À propos du modèle

L’addition de vecteurs dans le plan. Les vecteurs A et B sont donnés par leur norme et leur angle ; la résultante est R = A + B. En projections : R_x = A_x + B_x, R_y = A_y + B_y, où A_x = |A| cos θ_A, A_y = |A| sin θ_A. Géométriquement, on place l’origine de B à l’extrémité de A (règle du triangle) ou l’on construit le parallélogramme ; la diagonale est le même R. L’addition est commutative : A + B = B + A. On peut afficher les guides de projection. La norme |R| = √(R_x² + R_y²). C’est ainsi que l’on additionne forces, vitesses et déplacements.

Public : Collège et début de lycée, vecteurs : norme, direction, projections, règle du triangle.

Notions clés

vecteur
résultante
projections d’un vecteur
règle du triangle
règle du parallélogramme
norme d’un vecteur

Comment ça marche

On additionne les vecteurs par projections : R = A + B signifie R_x = A_x + B_x et R_y = A_y + B_y. Géométriquement, on place l’origine de B à l’extrémité de A, ou l’on construit le parallélogramme. La flèche cyan est la résultante R.

Formules

A_x = |A| cos θ, A_y = |A| sin θ

R_x = A_x + B_x, R_y = A_y + B_y

Questions fréquentes

Pourquoi la règle du triangle donne-t-elle le même résultat que l’addition des projections ?: Ce sont deux façons de réaliser la même opération. La construction géométrique du triangle et l’addition des projections sur les axes sont équivalentes et donnent le même vecteur R.
Peut-on changer l’ordre de l’addition ?: Oui. L’addition des vecteurs est commutative : A + B = B + A. Sur le dessin, on peut permuter les côtés du triangle ou du parallélogramme — la résultante est la même.
Où en a-t-on besoin en physique ?: Pour additionner des forces, des vitesses, des quantités de mouvement, des déplacements. Les projections comptent surtout lorsque les vecteurs forment un angle et ne sont pas portés par le même axe.

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