Pourquoi la planète est-elle plus rapide au périhélie qu’à l’aphélie ?

Deuxième loi de Kepler : en un même temps, on balaie la même aire. Plus près du Soleil, le rayon vecteur est plus court : dans le même intervalle, le corps parcourt un plus grand arc — la vitesse est plus grande. C’est la même chose que la conservation du moment cinétique dans un champ central.

Pourquoi la troisième loi relie-t-elle justement T² et a³ ?

Pour une orbite circulaire dans un champ ∝ 1/r², l’égalité de la gravitation et de la force centripète donne ω²r³ = GM ; avec ω = 2π/T, on obtient T² ∝ r³. Pour l’ellipse dans le problème à deux corps, le rôle de la distance revient au demi-grand axe a.

Les lois de Kepler valent-elles pour les satellites de la Terre ?

Oui, comme bonne approximation : la masse centrale est la Terre, T² = (4π²/GM) a³. Il faut tenir compte des perturbations, de l’aplatissement de la Terre et de la résistance de l’atmosphère en orbite basse ; pour une estimation scolaire de la troisième loi, cela suffit.

Les orbites des planètes sont-elles des ellipses idéales ?

Sur des temps courts, presque oui. Les autres planètes font tourner lentement le périhélie et déforment un peu l’ellipse. Pour Mercure, il y a encore la contribution de la relativité générale — environ 43″ par siècle après soustraction des perturbations newtoniennes.

Lois de Kepler

Orbites elliptiques et égalité des aires balayées (deuxième loi).

À propos du modèle

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil dans le problème à deux corps. Première : l’orbite est une ellipse, le Soleil en un des foyers. Deuxième (loi des aires) : le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales — c’est la conservation du moment cinétique. Troisième : les carrés des périodes de révolution sont comme les cubes des demi-grands axes, T² ∝ a³, pour une même masse centrale. Newton a montré que tout cela suit de F = GMm/r². On peut changer le demi-grand axe, l’excentricité et la masse du centre, et comparer la période et les vitesses au périhélie et à l’aphélie. Pas de perturbations des autres planètes, ni de précession relativiste du périhélie de Mercure.

Public : Astronomie et mécanique de lycée, après la loi de la gravitation universelle ; à côté des pages sur le mouvement orbital et le transfert de Hohmann.

Notions clés

lois de Kepler
orbite elliptique
loi des aires
demi-grand axe
période de révolution
excentricité
problème à deux corps
troisième loi de Kepler

Comment ça marche

Kepler I : les orbites liées sont des ellipses, masse centrale en un des foyers. Kepler II : le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux — ici les secteurs colorés correspondent à des Δt égaux et doivent avoir presque la même aire (on affiche la dispersion numérique). Kepler III : dans ce modèle à deux corps, T² ∝ a³ à GM constant ; changez a et GM et voyez T²/a³ suivre l’échelle inverse de GM.

Formules

M = E − e sin E → planète (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Questions fréquentes

Pourquoi la planète est-elle plus rapide au périhélie qu’à l’aphélie ?: Deuxième loi de Kepler : en un même temps, on balaie la même aire. Plus près du Soleil, le rayon vecteur est plus court : dans le même intervalle, le corps parcourt un plus grand arc — la vitesse est plus grande. C’est la même chose que la conservation du moment cinétique dans un champ central.
Pourquoi la troisième loi relie-t-elle justement T² et a³ ?: Pour une orbite circulaire dans un champ ∝ 1/r², l’égalité de la gravitation et de la force centripète donne ω²r³ = GM ; avec ω = 2π/T, on obtient T² ∝ r³. Pour l’ellipse dans le problème à deux corps, le rôle de la distance revient au demi-grand axe a.
Les lois de Kepler valent-elles pour les satellites de la Terre ?: Oui, comme bonne approximation : la masse centrale est la Terre, T² = (4π²/GM) a³. Il faut tenir compte des perturbations, de l’aplatissement de la Terre et de la résistance de l’atmosphère en orbite basse ; pour une estimation scolaire de la troisième loi, cela suffit.
Les orbites des planètes sont-elles des ellipses idéales ?: Sur des temps courts, presque oui. Les autres planètes font tourner lentement le périhélie et déforment un peu l’ellipse. Pour Mercure, il y a encore la contribution de la relativité générale — environ 43″ par siècle après soustraction des perturbations newtoniennes.

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