Pourquoi y a-t-il deux solutions pour beaucoup de cibles ?

Le théorème d’Al-Kashi pour l’angle du coude laisse le choix du signe ± — poses miroir « coude haut » et « coude bas » pour le même point d’extrémité. Sur le bord de l’espace de travail, ces solutions se confondent.

Que se passe-t-il hors de la zone accessible ?

Si la cible est plus loin que L₁+L₂ ou plus près que |L₁−L₂|, il n’existe pas d’angle de coude réel. Le bras est complètement tendu ou replié et n’atteint pas.

Est-ce la même chose que le bras à trois segments avec CCD ?

Non. Ici la cinématique inverse plane est analytique, avec des branches de coude explicites. La chaîne spatiale à trois segments se résout par CCD itératif, avec butées et suivi de trajectoire — une autre méthode, pour un bras plus long.

Cinématique inverse d’un manipulateur à deux segments

Bras plan à deux segments : cible à l’écran, deux solutions — coude haut et coude bas, angles θ₁ et θ₂.

À propos du modèle

La cinématique inverse d’un manipulateur plan 2R cherche les angles des articulations (θ₁, θ₂) pour une position donnée de l’organe terminal. La cinématique directe envoie les mêmes angles vers la position de l’extrémité. Pour une cible dans le plan, il existe jusqu’à deux solutions réelles — « coude haut » et « coude bas » — tant que la cible est entre |L₁−L₂| et L₁+L₂. Sur le bord de la couronne d’accessibilité les solutions se confondent ; au-delà, il n’y a plus d’angle de coude réel. Pas de butées au-delà de la géométrie, ni de dynamique, ni de collisions ; les angles sont calculés d’un coup, pas comme une trajectoire dans le temps.

Public : Robotique et théorie des mécanismes : cinématique inverse analytique d’une chaîne plane 2R.

Notions clés

manipulateur à deux segments
cinématique inverse
coude haut
coude bas
manipulateur 2R
espace de travail

Comment ça marche

Le théorème d’Al-Kashi donne θ₂ avec le choix du signe, puis θ₁ d’après la position de la cible. À l’écran les deux poses, tant que la cible est dans la couronne d’accessibilité. Hors de la couronne, le bras n’atteint pas : tendu ou replié. Les longueurs des segments fixent la géométrie de l’espace de travail.

Formules

c₂ = (x²+y²−L₁²−L₂²)/(2L₁L₂)

θ₂ = atan2(s₂, c₂), θ₁ = atan2(y,x) − atan2(L₂ sin θ₂, L₁+L₂ cos θ₂)

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il deux solutions pour beaucoup de cibles ?: Le théorème d’Al-Kashi pour l’angle du coude laisse le choix du signe ± — poses miroir « coude haut » et « coude bas » pour le même point d’extrémité. Sur le bord de l’espace de travail, ces solutions se confondent.
Que se passe-t-il hors de la zone accessible ?: Si la cible est plus loin que L₁+L₂ ou plus près que |L₁−L₂|, il n’existe pas d’angle de coude réel. Le bras est complètement tendu ou replié et n’atteint pas.
Est-ce la même chose que le bras à trois segments avec CCD ?: Non. Ici la cinématique inverse plane est analytique, avec des branches de coude explicites. La chaîne spatiale à trois segments se résout par CCD itératif, avec butées et suivi de trajectoire — une autre méthode, pour un bras plus long.

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