Warum gibt es für viele Ziele zwei Lösungen?

Der Kosinussatz für den Ellbogenwinkel liefert die Vorzeichenwahl ± — spiegelbildliche Posen „Ellbogen oben“ und „Ellbogen unten“ mit demselben Handpunkt. Am Rand des Arbeitsraums fallen diese Lösungen zusammen.

Was geschieht außerhalb der erreichbaren Zone?

Liegt das Ziel weiter als L₁+L₂ oder näher als |L₁−L₂|, gibt es keinen reellen Ellbogenwinkel. Der Arm ist voll gestreckt oder zusammengefaltet und reicht nicht.

Ist das dasselbe wie der dreigliedrige Arm mit CCD?

Nein. Hier ist analytische ebene inverse Kinematik mit expliziten Ellbogenzweigen. Die räumliche dreigliedrige Kette wird iterativ mit CCD, Anschlägen und Bahnverfolgung gelöst — ein anderes Verfahren für einen längeren Arm.

Inverse Kinematik eines Zweigelenkarms

Ebener Arm aus zwei Gliedern: Ziel auf der Fläche, zwei Lösungen — Ellbogen oben und Ellbogen unten, Winkel θ₁ und θ₂.

Zum Modell

Die inverse Kinematik eines ebenen 2R-Manipulators sucht die Gelenkwinkel (θ₁, θ₂) zu einem vorgegebenen Punkt der Hand. Die direkte Aufgabe bildet dieselben Winkel auf die Handposition ab. Für ein Ziel in der Ebene gibt es bis zu zwei reelle Lösungen — „Ellbogen oben“ und „Ellbogen unten“ — solange das Ziel zwischen |L₁−L₂| und L₁+L₂ liegt. Am Rand des Erreichbarkeitsrings fallen die Lösungen zusammen, außerhalb gibt es keinen reellen Ellbogenwinkel. Gelenkanschläge über die Geometrie hinaus, Dynamik und Kollisionen fehlen; die Winkel werden sofort berechnet, nicht als Bahn in der Zeit.

Für wen: Robotik und Getriebelehre: analytische inverse Kinematik einer ebenen 2R-Kette.

Wichtige Begriffe

Zweigelenkarm
inverse Kinematik
Ellbogen oben
Ellbogen unten
2R-Manipulator
Arbeitsraum

So funktioniert es

Der Kosinussatz liefert θ₂ mit Vorzeichenwahl, danach θ₁ aus der Zielposition. Auf dem Bildschirm beide Posen, solange das Ziel im Erreichbarkeitsring liegt. Außerhalb reicht der Arm nicht: gestreckt oder gefaltet. Die Gliedlängen legen die Geometrie des Arbeitsraums fest.

Wichtige Gleichungen

c₂ = (x²+y²−L₁²−L₂²)/(2L₁L₂)

θ₂ = atan2(s₂, c₂), θ₁ = atan2(y,x) − atan2(L₂ sin θ₂, L₁+L₂ cos θ₂)

Häufige Fragen

Warum gibt es für viele Ziele zwei Lösungen?: Der Kosinussatz für den Ellbogenwinkel liefert die Vorzeichenwahl ± — spiegelbildliche Posen „Ellbogen oben“ und „Ellbogen unten“ mit demselben Handpunkt. Am Rand des Arbeitsraums fallen diese Lösungen zusammen.
Was geschieht außerhalb der erreichbaren Zone?: Liegt das Ziel weiter als L₁+L₂ oder näher als |L₁−L₂|, gibt es keinen reellen Ellbogenwinkel. Der Arm ist voll gestreckt oder zusammengefaltet und reicht nicht.
Ist das dasselbe wie der dreigliedrige Arm mit CCD?: Nein. Hier ist analytische ebene inverse Kinematik mit expliziten Ellbogenzweigen. Die räumliche dreigliedrige Kette wird iterativ mit CCD, Anschlägen und Bahnverfolgung gelöst — ein anderes Verfahren für einen längeren Arm.

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