Pourquoi, sur le tronçon linéaire, a-t-on σ = Eε ?

Dans le domaine élastique, l’allongement relatif est petit, et pour beaucoup de métaux la loi de Hooke s’applique : la contrainte est proportionnelle à la déformation, le coefficient est le module d’Young E. La pente de la droite sur le diagramme est précisément E.

Pourquoi la contrainte diminue-t-elle après la résistance à la traction ?

Le graphe porte la contrainte conventionnelle : force divisée par l’aire initiale. Lors de la striction, la section vraie décroît plus vite que la force, donc la contrainte conventionnelle σ baisse en général, même si la contrainte vraie peut encore croître.

En quoi la contrainte conventionnelle diffère-t-elle de la contrainte vraie ?

La contrainte conventionnelle se calcule sur l’aire initiale de l’éprouvette, la contrainte vraie sur l’aire actuelle. Avant la striction elles sont proches ; après le rétrécissement de la section, elles divergent, et le diagramme de cours montre précisément la courbe conventionnelle.

Diagramme contrainte–déformation et loi de Hooke

Courbe qualitative σ–ε : domaine élastique de Hooke, écoulement, écrouissage, striction et rupture. On impose la déformation et l’on règle E, σ_y, σ_u.

À propos du modèle

Le diagramme contrainte–déformation (σ–ε), en grandeurs conventionnelles, commence pour un métal ductile par la loi de Hooke σ = Eε jusqu’à la limite d’élasticité. Ensuite peuvent apparaître un palier d’écoulement, un écrouissage linéaire jusqu’à la résistance à la traction σ_u, puis une chute de la contrainte conventionnelle lors de la striction, jusqu’à la rupture. On fait varier la déformation imposée ε et les paramètres E, σ_y, σ_u, la longueur du palier et les déformations ε_u, ε_f. C’est une courbe qualitative de cours, pas un calage sur un acier précis : les nombres sont illustratifs, sans dépendance à la température ni à la vitesse de déformation.

Public : Résistance des matériaux : loi de Hooke, écoulement, résistance à la traction, ductilité.

Notions clés

loi de Hooke
module d’Young
limite d’élasticité
résistance à la traction
striction
déformation à la rupture

Comment ça marche

Diagramme σ–ε : tronçon linéaire σ = Eε jusqu’à l’écoulement, puis plasticité et baisse de la contrainte conventionnelle à la striction. Le curseur impose ε ; la courbe est qualitative, ce n’est pas un calage sur un acier précis.

Formules

Élasticité : σ = Eε, ε_y = σ_y/E

Ensuite : palier d’écoulement → écrouissage jusqu’à σ_u → striction → σ → 0 à ε_f

Questions fréquentes

Pourquoi, sur le tronçon linéaire, a-t-on σ = Eε ?: Dans le domaine élastique, l’allongement relatif est petit, et pour beaucoup de métaux la loi de Hooke s’applique : la contrainte est proportionnelle à la déformation, le coefficient est le module d’Young E. La pente de la droite sur le diagramme est précisément E.
Pourquoi la contrainte diminue-t-elle après la résistance à la traction ?: Le graphe porte la contrainte conventionnelle : force divisée par l’aire initiale. Lors de la striction, la section vraie décroît plus vite que la force, donc la contrainte conventionnelle σ baisse en général, même si la contrainte vraie peut encore croître.
En quoi la contrainte conventionnelle diffère-t-elle de la contrainte vraie ?: La contrainte conventionnelle se calcule sur l’aire initiale de l’éprouvette, la contrainte vraie sur l’aire actuelle. Avant la striction elles sont proches ; après le rétrécissement de la section, elles divergent, et le diagramme de cours montre précisément la courbe conventionnelle.

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