Pourquoi le LQR peut-il stabiliser un procédé non linéaire ?

Le LQR est construit sur l’**approximation linéaire** au voisinage de l’équilibre. Tant que **φ**, **ẋ** et **φ̇** restent petits, les équations non linéaires sont proches du modèle tangent, et des **Q/R** bien choisis donnent souvent un bassin d’attraction autour du point haut. Loin du point de linéarisation, la loi peut cesser d’être adaptée ; s’y ajoute la **saturation** de l’actionneur.

En quoi le « MPC » d’ici diffère-t-il du MPPI avec pendule ?

Le **MPPI** d’une autre page est un **tirage stochastique de trajectoires** et un redressement non linéaire vers le haut. Ici le **MPC** est un **LQ déterministe à horizon fini** sur le **modèle linéaire discret**, résolu par **récurrence de Riccati**. Les deux relèvent de la commande prédictive, mais les mathématiques et le type de problème diffèrent.

Comment lire l’itération de l’équation de Riccati discrète ?

Si la paire **(A_d, B_d)** est stabilisable et **Q** semi-définie positive, les itérations **P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** convergent vers **P_∞**, et **K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** est le gain stationnaire du LQR. La page montre les pondérations et le **K** obtenu, pour relier les pénalités d’état et de commande au comportement du chariot.

Pourquoi borner l’intégrale sur φ en mode PID ?

Lors de la **saturation** de l’actionneur, un intégrateur « cru » accumule une grande erreur et, une fois hors saturation, donne une forte secousse. Borner l’état de l’intégrateur est un **anti-emballement** pédagogique, pour que l’image reste lisible à grand **Ki**.

Chariot-pendule : LQR, MPC et PID

Chariot non linéaire à pendule inversé : linéarisation au point haut, LQR discret (Riccati), MPC LQ à horizon fini avec coût terminal P∞, et PID manuel — une même saturation de force.

À propos du modèle

Le chariot-pendule est instable au point haut : une force horizontale doit tenir l’angle et la position du pendule inversé. On reprend le même modèle plan non linéaire « chariot — pendule » que dans le modèle mécanique séparé : force horizontale sur le chariot, masse ponctuelle au bout d’une tige rigide. Pour la stabilisation au point haut θ ≈ 0, on pose φ = θ et l’état (x, ẋ, φ, φ̇). Une discrétisation de pas Δt (équivalent d’un bloqueur d’ordre zéro au premier ordre) donne les paires (A_d, B_d). Le LQR résout l’équation algébrique de Riccati discrète (DARE) pour le critère quadratique Σ (xᵀQx + uᵀRu), avec Q diagonale et R scalaire, d’où la loi constante u = −Kx. Le mode MPC est ici une commande optimale linéaire quadratique à horizon fini, avec les mêmes Q, R et un coût terminal issu de la matrice infinie convergente P_∞ ; la récurrence de Riccati à rebours sur H pas change le premier gain K₀(H) par rapport à K_∞, et montre l’effet de la longueur d’horizon. Le PID est une loi saturée transparente sur les mêmes mesures, pour une comparaison qualitative. Tous les modes partagent la même limitation de force et agissent sur le procédé non linéaire, si bien qu’aux grands écarts on voit la différence avec le modèle linéaire.

Public : Cours d’automatique et de systèmes linéaires : LQR sur un procédé non linéaire, à côté du MPC et du PID.

Notions clés

régulateur linéaire quadratique (LQR)
équation de Riccati (DARE)
commande prédictive (MPC)
LQR à horizon fini
pendule inversé
système chariot–pendule
linéarisation
régulateur PID

Comment ça marche

Autour du point haut φ = θ on construit un modèle linéaire discret ; la DARE donne le K à horizon infini, et l’horizon fini avec les mêmes Q, R et le coût terminal P_∞ change le premier gain K₀(H). Le PID est une heuristique séparée sur les mêmes mesures. Toutes les lois passent par une saturation de force sur le procédé non linéaire — comparez la dérive du chariot après un choc.

Formules

Linearization about upright: φ = θ, state x_s = [x, ẋ, φ, φ̇]ᵀ, u = horizontal force

ẋ₁ = ẋ₂, ẋ₂ = u/M − (m/M)g φ, ẋ₃ = ẋ₄, ẋ₄ = −u/(M L) + ((M+m)/(M L)) g φ

DARE: P = Q + A_dᵀ P A_d − A_dᵀ P B_d (R + B_dᵀ P B_d)⁻¹ B_dᵀ P A_d → u = −K x_s

Questions fréquentes

Pourquoi le LQR peut-il stabiliser un procédé non linéaire ?: Le LQR est construit sur l’approximation linéaire au voisinage de l’équilibre. Tant que φ, ẋ et φ̇ restent petits, les équations non linéaires sont proches du modèle tangent, et des Q/R bien choisis donnent souvent un bassin d’attraction autour du point haut. Loin du point de linéarisation, la loi peut cesser d’être adaptée ; s’y ajoute la saturation de l’actionneur.
En quoi le « MPC » d’ici diffère-t-il du MPPI avec pendule ?: Le MPPI d’une autre page est un tirage stochastique de trajectoires et un redressement non linéaire vers le haut. Ici le MPC est un LQ déterministe à horizon fini sur le modèle linéaire discret, résolu par récurrence de Riccati. Les deux relèvent de la commande prédictive, mais les mathématiques et le type de problème diffèrent.
Comment lire l’itération de l’équation de Riccati discrète ?: Si la paire (A_d, B_d) est stabilisable et Q semi-définie positive, les itérations P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA convergent vers P_∞, et K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA est le gain stationnaire du LQR. La page montre les pondérations et le K obtenu, pour relier les pénalités d’état et de commande au comportement du chariot.
Pourquoi borner l’intégrale sur φ en mode PID ?: Lors de la saturation de l’actionneur, un intégrateur « cru » accumule une grande erreur et, une fois hors saturation, donne une forte secousse. Borner l’état de l’intégrateur est un anti-emballement pédagogique, pour que l’image reste lisible à grand Ki.

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