Pourquoi la ligne colorée « saute »-t-elle parfois d’un pas de K à l’autre ?

Les branches du lieu peuvent **se croiser** ou presque se confondre ; l’appariement glouton des racines entre **K** voisins peut échanger une paire sur un pas. Augmentez le **K maximal** du balayage, ou suivez mentalement le long de **σ** ; pour une qualité d’édition, il faudrait un vrai suivi de branches, pas cette esquisse pédagogique.

Les asymptotes en pointillés remplacent-elles le lieu ?

Non — c’est la recette d’Evans pour les **n − m** branches qui partent à l’infini lorsque **K → ∞**. Les lignes brisées viennent toujours des racines du polynôme ; les rayons sont une géométrie **de repère** si **n > m**.

Pourquoi interdire des zéros si l’on aurait deg N ≥ deg D ?

Le procédé doit rester **strictement propre** pour le cadre classique à retour unitaire (comportement borné aux hautes fréquences). L’interface n’autorise pas des zéros qui rendraient **G inadmissible**.

Durand–Kerner garantit-il la convergence ?

Non — comme beaucoup d’itérations simultanées, c’est une **heuristique**, mais avec le **démarrage à chaud** et des degrés modérés elle tient ici. Si les racines sont exotiques, décalez un peu un pôle ou **K** ; les jeux de paramètres visent des polynômes de cours.

Lieu des racines : 1 + K·G(s) = 0

Le même éditeur de pôles et de zéros : trajectoires des pôles en boucle fermée lors d’un balayage logarithmique de K, asymptotes et segment sur l’axe réel ; racines de Durand–Kerner au K courant.

À propos du modèle

Le lieu des racines montre comment se déplacent les pôles en boucle fermée lorsque le gain de la boucle varie. Retour unitaire négatif avec un procédé scalaire G(s) = g₀ ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) — le même clic dans le plan s que dans le laboratoire Bode/Nyquist. Équation caractéristique de la boucle 1 + K G(s) = 0, sous forme polynomiale D(s) + K g₀ N₀(s) = 0, où D et N₀ sont les polynômes unitaires issus de la liste des pôles et des zéros. Un balayage logarithmique de K donne des lignes brisées colorées — esquisse discrète du lieu des racines. Si deg D > deg N, on trace les asymptotes (centroïde et angles) et le segment sur l’axe réel selon la règle « nombre impair de pôles et de zéros réels à droite ». Les racines à chaque pas de K viennent de l’itération de Durand–Kerner sur le polynôme unitaire ; d’un pas à l’autre, on réutilise le vecteur de racines du K précédent et une permutation gloutonne pour la continuité visuelle des branches (c’est une mise en forme du graphe, pas un substitut à la preuve d’Evans). Le curseur du K courant recalcule les racines avec un démarrage à chaud depuis le pas de balayage le plus proche ; des anneaux dorés marquent ces racines, le compteur — les pôles en boucle fermée dans le demi-plan droit, pour juger vite de l’instabilité.

Public : Automatique classique : lieu des racines d’Evans, même éditeur de pôles et de zéros que Bode/Nyquist.

Notions clés

lieu des racines
équation caractéristique
retour unitaire
pôles et zéros en boucle ouverte
asymptotes
règle de l’axe réel
Durand–Kerner
stabilité en boucle fermée

Comment ça marche

1 + K·G(s) = 0 avec G = g₀∏(s−z)/∏(s−p) — c’est D + K g₀ N₀ = 0 ; le tracé en log K et Durand–Kerner donnent l’esquisse des branches, les asymptotes et l’axe réel — aides classiques d’Evans ; l’appariement des racines entre pas sert à la douceur des lignes, non à une preuve.

Formules

1 + K G(s) = 0 ⟺ D(s) + K g₀ N₀(s) = 0

σ_a = (Σ p_i − Σ z_i) / (n − m), θ_k = (2k+1)π / (n − m)

Questions fréquentes

Pourquoi la ligne colorée « saute »-t-elle parfois d’un pas de K à l’autre ?: Les branches du lieu peuvent se croiser ou presque se confondre ; l’appariement glouton des racines entre K voisins peut échanger une paire sur un pas. Augmentez le K maximal du balayage, ou suivez mentalement le long de σ ; pour une qualité d’édition, il faudrait un vrai suivi de branches, pas cette esquisse pédagogique.
Les asymptotes en pointillés remplacent-elles le lieu ?: Non — c’est la recette d’Evans pour les n − m branches qui partent à l’infini lorsque K → ∞. Les lignes brisées viennent toujours des racines du polynôme ; les rayons sont une géométrie de repère si n > m.
Pourquoi interdire des zéros si l’on aurait deg N ≥ deg D ?: Le procédé doit rester strictement propre pour le cadre classique à retour unitaire (comportement borné aux hautes fréquences). L’interface n’autorise pas des zéros qui rendraient G inadmissible.
Durand–Kerner garantit-il la convergence ?: Non — comme beaucoup d’itérations simultanées, c’est une heuristique, mais avec le démarrage à chaud et des degrés modérés elle tient ici. Si les racines sont exotiques, décalez un peu un pôle ou K ; les jeux de paramètres visent des polynômes de cours.

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