Por que o LQR pode estabilizar uma planta não linear?

O LQR constrói-se sobre a **aproximação linear** numa vizinhança do equilíbrio. Enquanto **φ**, **ẋ** e **φ̇** forem pequenos, as equações não lineares ficam perto do modelo tangente, e um par **Q/R** bem escolhido costuma dar uma bacia de atração da posição de cima. Longe do ponto de linearização a lei pode não servir; soma-se o efeito da **saturação** do atuador.

Em que este «MPC» difere do MPPI com o pêndulo?

O **MPPI** da outra página é **amostragem estocástica de trajetórias** e um impulso não linear para cima. Aqui o **MPC** é **LQ determinístico de horizonte finito** sobre o modelo **linear discreto**, resolvido por **recursão de Riccati**. Os dois cabem na ideia de controle preditivo, mas a matemática e o tipo de problema são distintos.

Como se lê a iteração da equação discreta de Riccati?

Se o par **(A_d, B_d)** é estabilizável e **Q** é semidefinida positiva, as iterações **P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** convergem a **P_∞**, e **K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** é o ganho estacionário do LQR. Na página veem-se os pesos e o **K** resultante, para ligar as penalizações de estado e de controle ao comportamento do carrinho.

Para que limitar a integral de φ no modo PID?

Com o atuador em **saturação**, a integral «crua» acumula um erro grande e, ao sair da saturação, dá um puxão forte. Limitar o estado do integrador é um **anti-windup** de aula, para que com **Ki** grandes o quadro continue legível.

Carrinho–pêndulo: LQR, MPC e PID

Carrinho não linear com pêndulo invertido: linearização no topo, LQR discreto (Riccati), MPC linear-quadrático de horizonte finito com P∞ terminal e PID manual — um só limite de força.

Sobre o modelo

O carrinho–pêndulo é instável no ponto de cima: uma força horizontal deve sustentar o ângulo e a posição. O mesmo modelo plano não linear carrinho–pêndulo da página de mecânica: força horizontal no carrinho, massa pontual numa haste rígida. Para a estabilização no topo θ ≈ 0 toma-se φ = θ e o estado (x, ẋ, φ, φ̇). A discretização com passo Δt (equivalente a um ZOH de primeira ordem) dá o par (A_d, B_d). O LQR resolve a equação algébrica discreta de Riccati (DARE) para o critério quadrático Σ (xᵀQx + uᵀRu) com Q diagonal e R escalar, e fica a lei constante u = −Kx. O modo MPC aqui é controle ótimo linear-quadrático de horizonte finito com os mesmos Q, R e um custo terminal tomado da matriz infinita convergente P_∞; a recursão de Riccati para trás em H passos muda o primeiro coeficiente K₀(H) em relação a K_∞ e deixa ver o efeito do comprimento do horizonte. O PID é uma lei saturada transparente sobre as mesmas medições, para uma comparação qualitativa. Todos os modos compartilham o mesmo limite de força e atuam sobre a planta não linear, de modo que longe do equilíbrio se vê a diferença com o modelo linear.

Para quem: Cursos de teoria de controle e de sistemas lineares: LQR sobre uma planta não linear, ao lado de MPC e PID.

Conceitos-chave

regulador linear-quadrático (LQR)
equação de Riccati (DARE)
controle preditivo (MPC)
LQR de horizonte finito
pêndulo invertido
sistema carrinho–pêndulo
linearização
controlador PID

Como funciona

Em torno do topo φ = θ monta-se um modelo linear discreto; a DARE dá o K de horizonte infinito, e o horizonte finito com os mesmos Q, R e P_∞ terminal muda o primeiro coeficiente K₀(H). O PID é outra heurística sobre as mesmas medições. Todas as leis passam pela saturação de força sobre a planta não linear: compare o desvio do carrinho depois do empurrão.

Fórmulas principais

Linearization about upright: φ = θ, state x_s = [x, ẋ, φ, φ̇]ᵀ, u = horizontal force

ẋ₁ = ẋ₂, ẋ₂ = u/M − (m/M)g φ, ẋ₃ = ẋ₄, ẋ₄ = −u/(M L) + ((M+m)/(M L)) g φ

DARE: P = Q + A_dᵀ P A_d − A_dᵀ P B_d (R + B_dᵀ P B_d)⁻¹ B_dᵀ P A_d → u = −K x_s

Perguntas frequentes

Por que o LQR pode estabilizar uma planta não linear?: O LQR constrói-se sobre a aproximação linear numa vizinhança do equilíbrio. Enquanto φ, ẋ e φ̇ forem pequenos, as equações não lineares ficam perto do modelo tangente, e um par Q/R bem escolhido costuma dar uma bacia de atração da posição de cima. Longe do ponto de linearização a lei pode não servir; soma-se o efeito da saturação do atuador.
Em que este «MPC» difere do MPPI com o pêndulo?: O MPPI da outra página é amostragem estocástica de trajetórias e um impulso não linear para cima. Aqui o MPC é LQ determinístico de horizonte finito sobre o modelo linear discreto, resolvido por recursão de Riccati. Os dois cabem na ideia de controle preditivo, mas a matemática e o tipo de problema são distintos.
Como se lê a iteração da equação discreta de Riccati?: Se o par (A_d, B_d) é estabilizável e Q é semidefinida positiva, as iterações P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA convergem a P_∞, e K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA é o ganho estacionário do LQR. Na página veem-se os pesos e o K resultante, para ligar as penalizações de estado e de controle ao comportamento do carrinho.
Para que limitar a integral de φ no modo PID?: Com o atuador em saturação, a integral «crua» acumula um erro grande e, ao sair da saturação, dá um puxão forte. Limitar o estado do integrador é um anti-windup de aula, para que com Ki grandes o quadro continue legível.

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