Warum kann LQR eine nichtlineare Strecke stabilisieren?

LQR wird am **linearen Näherungsmodell** in der Umgebung der Ruhelage entworfen. Solange **φ**, **ẋ** und **φ̇** klein bleiben, liegen die nichtlinearen Gleichungen nahe am Tangentenmodell, und geeignet gewählte **Q/R** geben oft ein Einzugsgebiet der oberen Lage. Weit vom Linearisierungspunkt kann das Gesetz ungeeignet sein; dazu kommt die **Sättigung** des Stellglieds.

Wodurch unterscheidet sich „MPC“ hier vom MPPI-Pendel?

**MPPI** auf der anderen Seite ist **stochastische Trajektorienauswahl** und nichtlineares Hochschwingen. Hier ist **MPC** ein **deterministischer linear-quadratischer endlicher Horizont** auf dem **linearen diskreten** Modell, gelöst durch **Riccati-Rekursion**. Beide gehören zur Idee der prädiktiven Regelung, Mathematik und Aufgabenstellung sind aber verschieden.

Wie liest man die Iteration der diskreten Riccati-Gleichung?

Bei geeigneter Stabilisierbarkeit von **(A_d, B_d)** und positiv semidefiniter **Q** konvergieren die Iterationen **P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** gegen **P_∞**, und **K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** ist die stationäre LQR-Verstärkung. Auf der Seite sieht man die Gewichtungen und das entstandene **K**, damit sich Strafen auf Zustand und Stellgröße mit dem Verhalten des Wagens verbinden.

Warum begrenzt man das Integral über φ im PID-Betrieb?

Bei **Sättigung** des Stellglieds sammelt ein unbegrenztes Integral einen großen Fehler und gibt nach dem Verlassen der Sättigung einen starken Ruck. Die Begrenzung des Integratorzustands ist ein schulischer **Anti-Windup**, damit das Bild bei großem **Ki** anschaulich bleibt.

Wagen-Pendel: LQR, MPC und PID

Nichtlineares Wagen-Pendel in der oberen Lage: Linearisierung, diskretes LQR (Riccati), endlicher Horizont LQ-MPC mit Endkosten P∞ und handeingestelltes PID — eine Kraftgrenze.

Zum Modell

Das inverse Pendel auf dem Wagen ist in der oberen Lage instabil: eine waagerechte Kraft muss Winkel und Position halten. Es ist dieselbe nichtlineare ebene Wagen-Pendel-Strecke wie auf der mechanischen Schwesterseite: waagerechte Kraft auf den Wagen, Punktmasse auf einem starren Stab. Zur Stabilisierung in der oberen Lage θ ≈ 0 setzt man φ = θ und den Zustand (x, ẋ, φ, φ̇). Die Diskretisierung mit Schritt Δt (erster Ordnung wie ein Halteglied 0. Ordnung) liefert die Paare (A_d, B_d). LQR löst die diskrete algebraische Riccati-Gleichung (DARE) für das quadratische Gütemaß Σ (xᵀQx + uᵀRu) mit diagonaler Q und skalarer R und ergibt das konstante Gesetz u = −Kx. MPC ist hier linear-quadratische Optimalsteuerung auf endlichem Horizont mit denselben Q, R und einer Endkostenmatrix aus der konvergierten unendlichen P_∞; die rückwärts laufende Riccati-Rekursion über H Schritte ändert den ersten Koeffizienten K₀(H) gegenüber K_∞ und macht den Einfluss der Horizontlänge sichtbar. PID ist ein anschauliches, gesättigtes Gesetz auf denselben Messgrößen zum qualitativen Vergleich. Alle Betriebsarten teilen dieselbe Kraftgrenze und wirken auf die nichtlineare Strecke, daher sieht man bei großen Abweichungen den Unterschied zum linearen Entwurfsmodell.

Für wen: Regelungstechnik und lineare Systeme: LQR an der nichtlinearen Strecke neben MPC und PID.

Wichtige Begriffe

linear-quadratischer Regler (LQR)
Riccati-Gleichung (DARE)
prädiktive Regelung (MPC)
endlicher Horizont LQR
inverses Pendel
Wagen-Pendel
Linearisierung
PID-Regler

So funktioniert es

Um die obere Lage φ = θ wird ein lineares diskretes Modell gebaut; die DARE liefert den unendlichen Horizont K, der endliche Horizont mit denselben Q, R und Endkosten P_∞ ändert den ersten Koeffizienten K₀(H). PID ist eine eigene Heuristik auf denselben Messgrößen. Alle Gesetze gehen durch die Kraftsättigung auf die nichtlineare Strecke — vergleichen Sie den Versatz des Wagens nach dem Anstoß.

Wichtige Gleichungen

Linearization about upright: φ = θ, state x_s = [x, ẋ, φ, φ̇]ᵀ, u = horizontal force

ẋ₁ = ẋ₂, ẋ₂ = u/M − (m/M)g φ, ẋ₃ = ẋ₄, ẋ₄ = −u/(M L) + ((M+m)/(M L)) g φ

DARE: P = Q + A_dᵀ P A_d − A_dᵀ P B_d (R + B_dᵀ P B_d)⁻¹ B_dᵀ P A_d → u = −K x_s

Häufige Fragen

Warum kann LQR eine nichtlineare Strecke stabilisieren?: LQR wird am linearen Näherungsmodell in der Umgebung der Ruhelage entworfen. Solange φ, ẋ und φ̇ klein bleiben, liegen die nichtlinearen Gleichungen nahe am Tangentenmodell, und geeignet gewählte Q/R geben oft ein Einzugsgebiet der oberen Lage. Weit vom Linearisierungspunkt kann das Gesetz ungeeignet sein; dazu kommt die Sättigung des Stellglieds.
Wodurch unterscheidet sich „MPC“ hier vom MPPI-Pendel?: MPPI auf der anderen Seite ist stochastische Trajektorienauswahl und nichtlineares Hochschwingen. Hier ist MPC ein deterministischer linear-quadratischer endlicher Horizont auf dem linearen diskreten Modell, gelöst durch Riccati-Rekursion. Beide gehören zur Idee der prädiktiven Regelung, Mathematik und Aufgabenstellung sind aber verschieden.
Wie liest man die Iteration der diskreten Riccati-Gleichung?: Bei geeigneter Stabilisierbarkeit von (A_d, B_d) und positiv semidefiniter Q konvergieren die Iterationen P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA gegen P_∞, und K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA ist die stationäre LQR-Verstärkung. Auf der Seite sieht man die Gewichtungen und das entstandene K, damit sich Strafen auf Zustand und Stellgröße mit dem Verhalten des Wagens verbinden.
Warum begrenzt man das Integral über φ im PID-Betrieb?: Bei Sättigung des Stellglieds sammelt ein unbegrenztes Integral einen großen Fehler und gibt nach dem Verlassen der Sättigung einen starken Ruck. Die Begrenzung des Integratorzustands ist ein schulischer Anti-Windup, damit das Bild bei großem Ki anschaulich bleibt.

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