¿Por qué el LQR puede estabilizar una planta no lineal?

El LQR se construye sobre la **aproximación lineal** en un entorno del equilibrio. Mientras **φ**, **ẋ** y **φ̇** sean pequeños, las ecuaciones no lineales están cerca del modelo tangente, y un par **Q/R** bien elegido suele dar una cuenca de atracción de la posición de arriba. Lejos del punto de linealización la ley puede no servir; se suma el efecto de la **saturación** del actuador.

¿En qué se diferencia este «MPC» del MPPI con el péndulo?

El **MPPI** de la otra página es **muestreo estocástico de trayectorias** y un impulso no lineal hacia arriba. Aquí el **MPC** es **LQ determinista de horizonte finito** sobre el modelo **lineal discreto**, resuelto por **recursión de Riccati**. Ambos caben en la idea de control predictivo, pero la matemática y el tipo de problema son distintos.

¿Cómo se lee la iteración de la ecuación discreta de Riccati?

Si el par **(A_d, B_d)** es estabilizable y **Q** es semidefinida positiva, las iteraciones **P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** convergen a **P_∞**, y **K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** es la ganancia estacionaria del LQR. En la página se ven los pesos y el **K** resultante, para ligar las penalizaciones de estado y de control con el comportamiento del carrito.

¿Para qué acotar la integral de φ en el modo PID?

Con el actuador en **saturación**, la integral «cruda» acumula un error grande y, al salir de la saturación, da un tirón fuerte. Acotar el estado del integrador es un **anti-windup** de aula, para que con **Ki** grandes el cuadro siga siendo legible.

Carrito y péndulo: LQR, MPC y PID

Carrito no lineal con péndulo invertido: linealización en la cima, LQR discreto (Riccati), MPC lineal-cuadrático de horizonte finito con P∞ terminal y PID a mano — un solo tope de fuerza.

Sobre el modelo

El péndulo invertido sobre un carrito es inestable en el punto de arriba: una fuerza horizontal debe sostener el ángulo y la posición. El mismo modelo plano no lineal carrito–péndulo que en la página mecánica: fuerza horizontal sobre el carrito, masa puntual en una varilla rígida. Para la estabilización en la cima θ ≈ 0 se toma φ = θ y el estado (x, ẋ, φ, φ̇). La discretización con paso Δt (equivalente a un ZOH de primer orden) da el par (A_d, B_d). El LQR resuelve la ecuación algebraica discreta de Riccati (DARE) para el criterio cuadrático Σ (xᵀQx + uᵀRu) con Q diagonal y R escalar, y queda la ley constante u = −Kx. El modo MPC aquí es control óptimo lineal-cuadrático de horizonte finito con los mismos Q, R y un costo terminal tomado de la matriz infinita convergente P_∞; la recursión de Riccati hacia atrás en H pasos cambia el primer coeficiente K₀(H) respecto de K_∞ y deja ver el efecto de la longitud del horizonte. El PID es una ley saturada transparente sobre las mismas mediciones, para una comparación cualitativa. Todos los modos comparten el mismo tope de fuerza y actúan sobre la planta no lineal, así que lejos del equilibrio se ve la diferencia con el modelo lineal.

Para quién: Cursos de teoría de control y de sistemas lineales: LQR sobre una planta no lineal, junto a MPC y PID.

Conceptos clave

regulador lineal-cuadrático (LQR)
ecuación de Riccati (DARE)
control predictivo (MPC)
LQR de horizonte finito
péndulo invertido
sistema carrito–péndulo
linealización
regulador PID

Cómo funciona

Alrededor de la cima φ = θ se arma un modelo lineal discreto; la DARE da el K de horizonte infinito, y el horizonte finito con los mismos Q, R y P_∞ terminal cambia el primer coeficiente K₀(H). El PID es otra heurística sobre las mismas mediciones. Todas las leyes pasan por la saturación de fuerza sobre la planta no lineal: comparen el corrimiento del carrito después del empujón.

Fórmulas principales

Linearization about upright: φ = θ, state x_s = [x, ẋ, φ, φ̇]ᵀ, u = horizontal force

ẋ₁ = ẋ₂, ẋ₂ = u/M − (m/M)g φ, ẋ₃ = ẋ₄, ẋ₄ = −u/(M L) + ((M+m)/(M L)) g φ

DARE: P = Q + A_dᵀ P A_d − A_dᵀ P B_d (R + B_dᵀ P B_d)⁻¹ B_dᵀ P A_d → u = −K x_s

Preguntas frecuentes

¿Por qué el LQR puede estabilizar una planta no lineal?: El LQR se construye sobre la aproximación lineal en un entorno del equilibrio. Mientras φ, ẋ y φ̇ sean pequeños, las ecuaciones no lineales están cerca del modelo tangente, y un par Q/R bien elegido suele dar una cuenca de atracción de la posición de arriba. Lejos del punto de linealización la ley puede no servir; se suma el efecto de la saturación del actuador.
¿En qué se diferencia este «MPC» del MPPI con el péndulo?: El MPPI de la otra página es muestreo estocástico de trayectorias y un impulso no lineal hacia arriba. Aquí el MPC es LQ determinista de horizonte finito sobre el modelo lineal discreto, resuelto por recursión de Riccati. Ambos caben en la idea de control predictivo, pero la matemática y el tipo de problema son distintos.
¿Cómo se lee la iteración de la ecuación discreta de Riccati?: Si el par (A_d, B_d) es estabilizable y Q es semidefinida positiva, las iteraciones P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA convergen a P_∞, y K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA es la ganancia estacionaria del LQR. En la página se ven los pesos y el K resultante, para ligar las penalizaciones de estado y de control con el comportamiento del carrito.
¿Para qué acotar la integral de φ en el modo PID?: Con el actuador en saturación, la integral «cruda» acumula un error grande y, al salir de la saturación, da un tirón fuerte. Acotar el estado del integrador es un anti-windup de aula, para que con Ki grandes el cuadro siga siendo legible.

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