Почему LQR может стабилизировать нелинейный объект?

LQR строится по **линейному приближению** в окрестности равновесия. Пока **φ**, **ẋ** и **φ̇** малы, нелинейные уравнения близки к касательной модели, и удачно подобранные **Q/R** часто дают область притяжения верхнего положения. Далеко от точки линеаризации закон может быть неадекватным; добавляет эффект **насыщения** привода.

Чем «MPC» здесь отличается от MPPI с маятником?

**MPPI** на другой странице — **стохастическая выборка траекторий** и нелинейный разгон вверх. Здесь **MPC** — **детерминированный конечный горизонт LQ** на **линейной дискретной** модели, решаемый **рекурсией Риккати**. Оба относятся к идее прогнозирующего управления, но математика и тип задачи разные.

Как читать итерацию дискретного уравнения Риккати?

При подходящей стабилизируемости пары **(A_d, B_d)** и положительной полуопределённой **Q** итерации **P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** сходятся к **P_∞**, а **K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA** — стационарное усиление LQR. На странице показаны веса и получившийся **K**, чтобы связать штрафы за состояние и управление с поведением тележки.

Зачем ограничивать интеграл по φ в режиме ПИД?

При **насыщении** привода «сырой» интеграл накапливает большую ошибку и после выхода из насыщения даёт сильный рывок. Ограничение состояния интегратора — учебный **антивиндап**, чтобы при больших **Ki** картина оставалась наглядной.

Тележка–маятник: LQR, MPC и PID

Нелинейная тележка с перевёрнутым маятником: линеаризация у верха, дискретный LQR (Риккати), конечный горизонт LQ-MPC с терминальным P∞ и ручной ПИД — один предел силы.

О модели

Перевёрнутый маятник на тележке неустойчив в верхней точке: горизонтальная сила должна удерживать угол и положение. Та же нелинейная плоская модель «тележка — маятник», что и в отдельной механической модели: горизонтальная сила на тележке, точечная масса на жёстком стержне. Для стабилизации в верхней точке θ ≈ 0 вводится φ = θ и состояние (x, ẋ, φ, φ̇). Дискретизация с шагом Δt (эквивалент ZOH в первом порядке) даёт пары (A_d, B_d). LQR решает дискретное алгебраическое уравнение Риккати (DARE) для квадратичного критерия Σ (xᵀQx + uᵀRu) с диагональной Q и скалярной R, что даёт постоянный закон u = −Kx. Режим MPC здесь — это конечный горизонт линейно-квадратичного оптимального управления с теми же Q, R и терминальной стоимостью из сходящейся бесконечной матрицы P_∞; обратная рекурсия Риккати по H шагам меняет первый коэффициент K₀(H) относительно K_∞, наглядно показывая влияние длины горизонта. ПИД — наглядный насыщенный закон по тем же измерениям для качественного сравнения. Все режимы разделяют одинаковое ограничение силы и действуют на нелинейный объект, поэтому при больших отклонениях видна разница с линейной моделью.

Для кого: Курсы «Теория управления» и «Линейные системы»: LQR на нелинейном объекте рядом с MPC и ПИД.

Ключевые понятия

линейно-квадратичный регулятор (LQR)
уравнение Риккати (DARE)
прогнозирующее управление (MPC)
конечный горизонт LQR
перевёрнутый маятник
система тележка–маятник
линеаризация
ПИД-регулятор

Как это работает

Вокруг верха φ = θ строится линейная дискретная модель; DARE даёт бесконечный горизонт K, а конечный горизонт с теми же Q, R и терминальной P_∞ меняет первый коэффициент K₀(H). ПИД — отдельная эвристика на тех же измерениях. Все законы проходят через насыщение силы на нелинейном объекте — сравнивайте снос тележки после пинка.

Основные формулы

Linearization about upright: φ = θ, state x_s = [x, ẋ, φ, φ̇]ᵀ, u = horizontal force

ẋ₁ = ẋ₂, ẋ₂ = u/M − (m/M)g φ, ẋ₃ = ẋ₄, ẋ₄ = −u/(M L) + ((M+m)/(M L)) g φ

DARE: P = Q + A_dᵀ P A_d − A_dᵀ P B_d (R + B_dᵀ P B_d)⁻¹ B_dᵀ P A_d → u = −K x_s

Часто задаваемые вопросы

Почему LQR может стабилизировать нелинейный объект?: LQR строится по линейному приближению в окрестности равновесия. Пока φ, ẋ и φ̇ малы, нелинейные уравнения близки к касательной модели, и удачно подобранные Q/R часто дают область притяжения верхнего положения. Далеко от точки линеаризации закон может быть неадекватным; добавляет эффект насыщения привода.
Чем «MPC» здесь отличается от MPPI с маятником?: MPPI на другой странице — стохастическая выборка траекторий и нелинейный разгон вверх. Здесь MPC — детерминированный конечный горизонт LQ на линейной дискретной модели, решаемый рекурсией Риккати. Оба относятся к идее прогнозирующего управления, но математика и тип задачи разные.
Как читать итерацию дискретного уравнения Риккати?: При подходящей стабилизируемости пары (A_d, B_d) и положительной полуопределённой Q итерации P ← Q + AᵀPA − AᵀPB(R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA сходятся к P_∞, а K = (R + BᵀPB)⁻¹BᵀPA — стационарное усиление LQR. На странице показаны веса и получившийся K, чтобы связать штрафы за состояние и управление с поведением тележки.
Зачем ограничивать интеграл по φ в режиме ПИД?: При насыщении привода «сырой» интеграл накапливает большую ошибку и после выхода из насыщения даёт сильный рывок. Ограничение состояния интегратора — учебный антивиндап, чтобы при больших Ki картина оставалась наглядной.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

MPC: раскачка маятника

Запустить симулятор

Прогнозирующее управление по модели: K кандидатов момента на горизонте H, взвешенное обновление MPPI, ограничение |u|≤u_max — раскачка перевёрнутого маятника и перепланирование на ходу.

НовоеУниверситет / научные

ПИД-регулятор (1D)

Запустить симулятор

Тележка на рельсе: коэффициенты Kp, Ki, Kd и случайные импульсы скорости к уставке x = 0.

НовоеУниверситет / научные

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

Запустить симулятор

Тот же редактор полюсов и нулей: траектории замкнутых полюсов при логарифмическом сканировании K, асимптоты и участок на вещественной оси; корни Дюрана–Кернера при текущем K.

НовоеУниверситет / научные

Перевёрнутый маятник на тележке

Запустить симулятор

Горизонтальная сила на тележку и шарнирный стержень: связанные уравнения для x и θ, баланс руками.

НовоеШкольные

Конечный автомат

Запустить симулятор

Автомат Мура для светофора: цикл зелёный–жёлтый–красный по таймеру или ручное переключение; граф состояний.

НовоеУниверситет / научные

MPC: голономный аппарат (2D, MPPI)

Запустить симулятор

Плоский двойной интегратор с ограничением ‖u‖₂: сэмплинговый MPPI ведёт к перетаскиваемой цели и мягко штрафует круговые препятствия — веер прогнозов и лучший путь.

Тележка–маятник: LQR, MPC и PID

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

MPC: раскачка маятника

ПИД-регулятор (1D)

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

Перевёрнутый маятник на тележке

Конечный автомат

MPC: голономный аппарат (2D, MPPI)

Тележка–маятник: LQR, MPC и PID

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы