¿Por qué al animar la fase las barras de |ψ|² no cambian?

En un autoestado el tiempo entra solo como fase global e^{−iE_n t/ℏ}, y |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². La curva amarilla es la parte real: esa sí oscila.

¿Por qué en el pozo E_n ∝ n² y en el oscilador E_n = (n + ½)ℏω?

El espectro lo fija el potencial. Paredes rectangulares dan un crecimiento cuadrático con el número de nivel; la parábola V = ½mω²x² da un paso uniforme ℏω y una energía de punto cero distinta de cero.

¿Qué es un nodo de la función de onda?

Un punto donde ψ = 0 y, por tanto, |ψ|² = 0. En el pozo infinito, el estado n tiene n − 1 nodos entre las paredes; en el oscilador el número de nodos es n (si el fundamental es n = 0).

Autofunciones de un pozo de potencial

Estados estacionarios ψ_n y |ψ_n|²: pozo rectangular infinito u oscilador armónico; fase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

Sobre el modelo

Estados estacionarios en dos potenciales de aula: el pozo rectangular infinito en el intervalo [0, L] y el oscilador armónico cuántico. En el pozo, ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n²; en el oscilador, ψ_n son polinomios de Hermite multiplicados por un gaussiano, E_n = (n + ½)ℏω. Unidades del modelo: en el pozo ℏ = m = L = 1; en el oscilador ℏ = m = ω = 1. La curva amarilla es ψ_n o Re(Ψ); las barras azules, |ψ|². El factor de fase e^{−iE_n t/ℏ} hace girar la amplitud compleja, pero en un nivel puro |ψ|² no cambia. Se comparan el número de nodos y el paso entre niveles en el pozo y en la parábola.

Para quién: Curso introductorio de mecánica cuántica: cuantización en el pozo y en el oscilador armónico.

Conceptos clave

pozo de potencial infinito
oscilador armónico
polinomios de Hermite
cuantización de la energía
densidad de probabilidad
estado estacionario

Cómo funciona

Se alternan el pozo infinito y el oscilador armónico y se cambia n. La curva amarilla es ψ_n o Re(Ψ); las barras azules, |ψ|². En un nivel puro la fase hace girar la amplitud; la densidad no cambia.

Preguntas frecuentes

¿Por qué al animar la fase las barras de |ψ|² no cambian?: En un autoestado el tiempo entra solo como fase global e^{−iE_n t/ℏ}, y |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². La curva amarilla es la parte real: esa sí oscila.
¿Por qué en el pozo E_n ∝ n² y en el oscilador E_n = (n + ½)ℏω?: El espectro lo fija el potencial. Paredes rectangulares dan un crecimiento cuadrático con el número de nivel; la parábola V = ½mω²x² da un paso uniforme ℏω y una energía de punto cero distinta de cero.
¿Qué es un nodo de la función de onda?: Un punto donde ψ = 0 y, por tanto, |ψ|² = 0. En el pozo infinito, el estado n tiene n − 1 nodos entre las paredes; en el oscilador el número de nodos es n (si el fundamental es n = 0).

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