Por que, ao animar a fase, as barras de |ψ|² não mudam?

Num autoestado o tempo entra só na fase global e^{−iE_n t/ℏ}, e |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². A curva amarela é a parte real, que oscila.

Por que no poço E_n ∝ n² e no oscilador E_n = (n + ½)ℏω?

O espectro é fixado pelo potencial. Paredes retangulares dão crescimento quadrático com o índice do nível; a parábola V = ½mω²x² dá passo uniforme ℏω e energia de ponto zero não nula.

O que é um nó da função de onda?

Um ponto em que ψ = 0 e, portanto, |ψ|² = 0. No poço infinito, entre as paredes, o n-ésimo estado tem n − 1 nós; no oscilador o número de nós também é n (se o fundamental é n = 0).

Autofunções de um poço de potencial

Estados estacionários ψ_n e |ψ_n|²: poço retangular infinito ou oscilador harmônico; fase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

Sobre o modelo

As autofunções de um poço de potencial estudam-se em dois potenciais de aula: o poço retangular infinito no intervalo [0, L] e o oscilador harmônico quântico. No poço, ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n²; no oscilador, ψ_n são polinômios de Hermite vezes um gaussiano, E_n = (n + ½)ℏω. Unidades de modelo: no poço ℏ = m = L = 1, no oscilador ℏ = m = ω = 1. A curva amarela é ψ_n ou Re(Ψ); as barras azuis, |ψ|². O fator de fase e^{−iE_n t/ℏ} gira a amplitude complexa, mas num nível puro |ψ|² não muda. Comparam-se o número de nós e o passo dos níveis no poço e na parábola.

Para quem: Curso introdutório de mecânica quântica: quantização no poço e no oscilador harmônico.

Conceitos-chave

poço de potencial infinito
oscilador harmônico
polinômios de Hermite
quantização da energia
densidade de probabilidade
estado estacionário

Como funciona

Alternam-se o poço infinito e o oscilador harmônico e muda-se n. A curva amarela é ψ_n ou Re(Ψ); as barras azuis, |ψ|². Num nível puro a fase gira a amplitude e a densidade não muda.

Perguntas frequentes

Por que, ao animar a fase, as barras de |ψ|² não mudam?: Num autoestado o tempo entra só na fase global e^{−iE_n t/ℏ}, e |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². A curva amarela é a parte real, que oscila.
Por que no poço E_n ∝ n² e no oscilador E_n = (n + ½)ℏω?: O espectro é fixado pelo potencial. Paredes retangulares dão crescimento quadrático com o índice do nível; a parábola V = ½mω²x² dá passo uniforme ℏω e energia de ponto zero não nula.
O que é um nó da função de onda?: Um ponto em que ψ = 0 e, portanto, |ψ|² = 0. No poço infinito, entre as paredes, o n-ésimo estado tem n − 1 nós; no oscilador o número de nós também é n (se o fundamental é n = 0).

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