Warum ändern sich die Balken |ψ|² bei der Phasenanimation nicht?

Beim Eigenzustand hängt von der Zeit nur die globale Phase e^{−iE_n t/ℏ} ab, und |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². Die gelbe Kurve ist der Realteil; er oszilliert.

Warum gilt im Kasten E_n ∝ n², beim Oszillator aber E_n = (n + ½)ℏω?

Das Spektrum setzt das Potenzial. Rechteckige Wände geben quadratisches Wachstum mit der Quantenzahl n; die Parabel V = ½mω²x² gibt den gleichmäßigen Schritt ℏω und eine von null verschiedene Nullpunktsenergie.

Was ist ein Knoten der Wellenfunktion?

Ein Punkt, an dem ψ = 0 und damit auch |ψ|² = 0. Im unendlich hohen Kasten hat der n-te Zustand innerhalb der Wände n − 1 Knoten; beim Oszillator ist die Knotenzahl ebenfalls n (wenn der Grundzustand n = 0 ist).

Eigenzustände im Potenzialkasten

Stationäre ψ_n und |ψ_n|²: unendlich hoher Potenzialkasten oder harmonischer Oszillator; Phase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

Zum Modell

Eigenzustände im Potenzialkasten und im harmonischen Oszillator: stationäre Zustände in zwei Lehrbuchpotenzialen — unendlich hoher rechteckiger Kasten auf dem Intervall [0, L] und quantenmechanischer harmonischer Oszillator. Im Kasten gilt ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n²; beim Oszillator sind die ψ_n Hermite-Polynome mal einer Gaußfunktion, E_n = (n + ½)ℏω. Die Einheiten sind Modellgrößen: für den Kasten ℏ = m = L = 1, für den Oszillator ℏ = m = ω = 1. Die gelbe Kurve ist ψ_n oder Re(Ψ), die blauen Balken sind |ψ|². Der Phasenfaktor e^{−iE_n t/ℏ} dreht die komplexe Amplitude, aber für ein reines Niveau ändert sich |ψ|² nicht. Man vergleicht Knotenzahl und Niveauabstand im Kasten und in der Parabel.

Für wen: Einführung in die Quantenmechanik: Quantelung im Potenzialkasten und im harmonischen Oszillator.

Wichtige Begriffe

unendlich hoher Potenzialkasten
harmonischer Oszillator
Hermite-Polynome
energiequantelung
wahrscheinlichkeitsdichte
stationärer Zustand

So funktioniert es

Man schaltet zwischen unendlich hohem Kasten und harmonischem Oszillator und ändert n. Die gelbe Kurve ist ψ_n oder Re(Ψ), die blauen Balken sind |ψ|². Bei einem reinen Niveau dreht die Phase die Amplitude, die Dichte bleibt fest.

Häufige Fragen

Warum ändern sich die Balken |ψ|² bei der Phasenanimation nicht?: Beim Eigenzustand hängt von der Zeit nur die globale Phase e^{−iE_n t/ℏ} ab, und |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². Die gelbe Kurve ist der Realteil; er oszilliert.
Warum gilt im Kasten E_n ∝ n², beim Oszillator aber E_n = (n + ½)ℏω?: Das Spektrum setzt das Potenzial. Rechteckige Wände geben quadratisches Wachstum mit der Quantenzahl n; die Parabel V = ½mω²x² gibt den gleichmäßigen Schritt ℏω und eine von null verschiedene Nullpunktsenergie.
Was ist ein Knoten der Wellenfunktion?: Ein Punkt, an dem ψ = 0 und damit auch |ψ|² = 0. Im unendlich hohen Kasten hat der n-te Zustand innerhalb der Wände n − 1 Knoten; beim Oszillator ist die Knotenzahl ebenfalls n (wenn der Grundzustand n = 0 ist).

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