Die Ausgangsverteilung ist flach (oder schief oder zweigipflig) — warum bilden die Mittel trotzdem eine Glockenkurve?

Ein Stichprobenmittel setzt sich aus n unabhängigen Beiträgen zusammen, und eine Summe aus vielen kleinen unabhängigen Stücken wird davon bestimmt, wie diese Stücke zusammenkommen, nicht von der Form eines einzelnen Stücks. Mathematisch geht die charakteristische Funktion der standardisierten Summe gegen die der Standardnormalverteilung, sobald die Ausgangsverteilung endliche Varianz hat. Die Form der Ausgangsverteilung steuert nur das Tempo: bei der Gleichverteilung liegt das Histogramm der Mittel schon bei n = 5 nahe an der Normalverteilung, die Exponentialverteilung braucht etwa n = 30, bis der rechte Ausläufer verblasst, und die zweigipflige Verteilung sieht normal aus, sobald n groß genug ist, dass ein Mittel über beide Gipfel mittelt. Bei n = 1 ist das Histogramm der Mittel einfach die Ausgangsverteilung selbst, deshalb ist diese Einstellung der natürliche Start.

Warum schrumpft die Streuung der Mittel wie σ/√n und nicht wie σ/n?

Varianzen unabhängiger Größen addieren sich. Die Summe x₁ + … + xₙ hat die Varianz nσ², und teilt man die Summe durch n, wird die Varianz durch n² geteilt; es bleibt σ²/n. Die Wurzel daraus ist die Standardabweichung des Mittels, σ/√n, der Standardfehler. Vierfaches n halbiert also nur die Streuung: vergleiche n = 5 und n = 20, oder lies in der Anzeige den theoretischen Standardfehler und die empirische Standardabweichung der Mittel — sie stimmen überein, sobald einige hundert Mittel gesammelt sind.

Worin unterscheiden sich die Stichprobengröße n und die Zahl der gesammelten Mittel?

Sie haben verschiedene Aufgaben. Die Stichprobengröße n ist, wie viele Werte der Ausgangsverteilung zu einem Mittel gemittelt werden; sie legt Form und Breite der Stichprobenverteilung fest, über den Standardfehler σ/√n und den zentralen Grenzwertsatz. Die Zahl der gesammelten Mittel legt fest, wie gut das Histogramm diese Stichprobenverteilung zeigt: bei 20 Mitteln ist es zackig, bei 1000 glatt. Mehr Mittel machen das Histogramm nie schmaler; das tut nur ein größeres n.

Woher kommen die exakten Werte von μ und σ für jede Ausgangsverteilung?

Sie folgen aus den Definitionen E[X] = ∫x f(x) dx (oder Σx p(x)) und σ² = E[X²] − μ². Für U(0,1) gilt E[X] = 1/2 und E[X²] = 1/3, also σ² = 1/12. Für die Exponentialverteilung mit Rate 1 ist μ = 1 und E[X²] = 2, also σ = 1. Für eine Binomialverteilung gilt μ = np und σ² = np(1 − p), das gibt 2 und 1,6 für n = 10, p = 0,2. Für einen fairen Würfel ist μ = 3,5 und E[X²] = 91/6, also σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Für die gleich gewichtete Mischung aus N(−1,5; 0,5²) und N(1,5; 0,5²) ist μ = 0 und σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, denn die Varianz einer Mischung ist die mittlere Varianz innerhalb der Komponenten plus die Varianz der Komponentenmittel.

Zentraler Grenzwertsatz

Ausgangsverteilung wählen (gleichverteilt, exponentiell, binomial, Würfel), Stichproben der Größe n = 1, 5, 30 ziehen; das Histogramm der Mittel wird normal, die Streuung schrumpft wie σ/√n.

Stichprobenversuch

Ausgangsverteilung

Stichprobengröße n5

Tempo Auto-Ziehen4 Stichproben/s

Normalverteilung N(μ, σ²/n) überlagern

Jede Stichprobe besteht aus n unabhängigen Ziehungen aus der gewählten Ausgangsverteilung; ihr Mittel x̄ ist ein Eintrag im unteren Histogramm. Wechselt man die Ausgangsverteilung oder n, beginnt eine neue Sammlung von Mitteln. Die x-Achse des Histogramms bleibt auf den Bereich der Ausgangsverteilung festgelegt, die Streuung der Mittel schrumpft also sichtbar wie σ/√n, wenn n wächst. Zurücksetzen zieht einen neuen Zufallsstartwert.

Tastenkürzel

Space / Enter — eine Stichprobe ziehen
P — Auto-Ziehen an / aus
R — zurücksetzen (neuer Startwert)

Gemessene Größen

Mittel μ der Ausgangsverteilung0.5000 (1/2)

Streuung σ der Ausgangsverteilung0.2887 (1/√12)

Stichprobengröße n5

Gesammelte Mittel0

Letztes Stichprobenmittel x̄—

Mittel der Mittel—

Streuung der Mittel (empirisch)—

σ/√n (Theorie)0.1291

Schiefe der Mittel—

Zum Modell

Der Simulator zieht Stichproben der Größe n aus einer gewählten Ausgangsverteilung, fasst jede Stichprobe zu ihrem Mittel x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n zusammen und sammelt diese Mittel in einem Histogramm. Fünf Ausgangsverteilungen stehen bereit, jede mit Mittel μ und Standardabweichung σ in geschlossener Form: die Gleichverteilung U(0,1) (μ = 1/2, σ = 1/√12 ≈ 0,2887), die Exponentialverteilung mit Rate 1 (μ = 1, σ = 1), die Binomialverteilung Bin(10; 0,2) (μ = np = 2, σ = √(np(1−p)) = √1,6 ≈ 1,265), ein fairer sechsseitiger Würfel (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708) und eine gleich gewichtete Mischung zweier Normalverteilungen, zentriert bei ±1,5 mit Standardabweichung 0,5 (μ = 0, σ = √(0,5² + 1,5²) = √2,5 ≈ 1,581). Die Ziehungen sind unabhängig und identisch verteilt und kommen aus einem Pseudozufallsgenerator mit Startwert (mulberry32); ein Durchlauf bleibt also reproduzierbar, bis Zurücksetzen einen neuen Startwert wählt. Die Exponentialverteilung wird per Inversionsmethode gezogen, die Binomialverteilung als Summe von zehn Bernoulli-Versuchen, die Mischung mit der Box–Muller-Transformation. Für jede Ausgangsverteilung mit endlicher Varianz gilt E[x̄] = μ und SD[x̄] = σ/√n exakt, für jedes n. Der zentrale Grenzwertsatz ergänzt die Form: mit wachsendem n strebt die Verteilung von (x̄ − μ)/(σ/√n) gegen die Standardnormalverteilung, das Histogramm der Mittel nähert sich also N(μ, σ²/n). Die überlagerte Kurve ist diese Normalverteilung, skaliert auf die Zahl der gesammelten Mittel und die Klassenbreite, die gestrichelten Linien markieren μ und μ ± σ/√n, und die Anzeige vergleicht den theoretischen Standardfehler σ/√n mit der empirischen Standardabweichung der gesammelten Mittel (Teiler N − 1). Die Schiefe der Mittel, m₃/m₂^{3/2}, wird angegeben, weil sie zeigt, wie die Asymmetrie einer schiefen Ausgangsverteilung (Exponentialverteilung, Binomialverteilung mit p = 0,2) ungefähr wie 1/√n abklingt. Die Klassen haben eine Breite von etwa σ/(3√n), eine Glocke über ±3 Standardfehler umfasst also immer etwa achtzehn Klassen; bei diskreten Ausgangsverteilungen wird die Breite auf ein Vielfaches von 1/n gerundet, sodass jedes mögliche Mittel k/n in der Mitte einer Klasse liegt. Die x-Achse ist auf den Bereich der Ausgangsverteilung festgelegt, das Schmalerwerden des Histogramms mit n sieht man also direkt. Vereinfachungen: die Ausgangsverteilung ist vollständig bekannt, die Ziehungen sind unabhängig und identisch verteilt, keine Endlichkeitskorrektur, und die Konvergenzgeschwindigkeit wird nicht beziffert (die Berry–Esseen-Schranke wird nicht gezeichnet). Begleitende Simulatoren: statistics/law-of-large-numbers (Konvergenz eines einzelnen laufenden Mittels), statistics/normal-distribution (die Grenzkurve und z-Werte), statistics/galton-board und statistics/binomial-distribution (eine Binomialverteilung, die normal wird), statistics/confidence-interval (wo σ/√n in der Praxis gebraucht wird).

Für wen: Oberstufe und Studienbeginn: einführender Kurs in Wahrscheinlichkeit und Statistik.

Wichtige Begriffe

zentraler grenzwertsatz
stichprobenmittel
standardfehler σ/√n
ausgangsverteilung (grundgesamtheit)
stichprobenverteilung
normalnäherung
schiefe
unabhängig und identisch verteilt

So funktioniert es

Wähle eine Ausgangsverteilung — flach, schief, diskret oder auch zweigipflig — und ziehe daraus Stichproben von n Werten. Jede Stichprobe wird auf eine einzige Zahl reduziert, ihr Stichprobenmittel x̄, und dieses Mittel landet im unteren Histogramm. Wie die Ausgangsverteilung auch aussieht, häufen sich die Mittel um das Mittel μ, und mit weiteren Mitteln nimmt das Histogramm die Form einer Normalverteilung N(μ, σ²/n) an: das ist der zentrale Grenzwertsatz. Seine Breite ist der Standardfehler σ/√n, vierfaches n halbiert also die Streuung — vergleiche n = 1, 5 und 30 an der festen x-Achse. Das Modell ist idealisiert: die Ziehungen sind unabhängig und identisch verteilt, und μ und σ der Ausgangsverteilung sind exakt in geschlossener Form bekannt.

Wichtige Gleichungen

x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n, E[x̄] = μ

SD[x̄] = σ/√n (Standardfehler des Mittels)

ZGS: (x̄ − μ)/(σ/√n) → N(0, 1) für n → ∞, d. h. x̄ ≈ N(μ, σ²/n)

μ, σ: U(0,1): 1/2, 1/√12 · Exp(1): 1, 1 · Bin(10; 0,2): 2, √1,6 · Würfel: 3,5, √(35/12) · zweigipflig ½N(−1,5; 0,5²)+½N(1,5; 0,5²): 0, √2,5

Häufige Fragen

Die Ausgangsverteilung ist flach (oder schief oder zweigipflig) — warum bilden die Mittel trotzdem eine Glockenkurve?: Ein Stichprobenmittel setzt sich aus n unabhängigen Beiträgen zusammen, und eine Summe aus vielen kleinen unabhängigen Stücken wird davon bestimmt, wie diese Stücke zusammenkommen, nicht von der Form eines einzelnen Stücks. Mathematisch geht die charakteristische Funktion der standardisierten Summe gegen die der Standardnormalverteilung, sobald die Ausgangsverteilung endliche Varianz hat. Die Form der Ausgangsverteilung steuert nur das Tempo: bei der Gleichverteilung liegt das Histogramm der Mittel schon bei n = 5 nahe an der Normalverteilung, die Exponentialverteilung braucht etwa n = 30, bis der rechte Ausläufer verblasst, und die zweigipflige Verteilung sieht normal aus, sobald n groß genug ist, dass ein Mittel über beide Gipfel mittelt. Bei n = 1 ist das Histogramm der Mittel einfach die Ausgangsverteilung selbst, deshalb ist diese Einstellung der natürliche Start.
Warum schrumpft die Streuung der Mittel wie σ/√n und nicht wie σ/n?: Varianzen unabhängiger Größen addieren sich. Die Summe x₁ + … + xₙ hat die Varianz nσ², und teilt man die Summe durch n, wird die Varianz durch n² geteilt; es bleibt σ²/n. Die Wurzel daraus ist die Standardabweichung des Mittels, σ/√n, der Standardfehler. Vierfaches n halbiert also nur die Streuung: vergleiche n = 5 und n = 20, oder lies in der Anzeige den theoretischen Standardfehler und die empirische Standardabweichung der Mittel — sie stimmen überein, sobald einige hundert Mittel gesammelt sind.
Worin unterscheiden sich die Stichprobengröße n und die Zahl der gesammelten Mittel?: Sie haben verschiedene Aufgaben. Die Stichprobengröße n ist, wie viele Werte der Ausgangsverteilung zu einem Mittel gemittelt werden; sie legt Form und Breite der Stichprobenverteilung fest, über den Standardfehler σ/√n und den zentralen Grenzwertsatz. Die Zahl der gesammelten Mittel legt fest, wie gut das Histogramm diese Stichprobenverteilung zeigt: bei 20 Mitteln ist es zackig, bei 1000 glatt. Mehr Mittel machen das Histogramm nie schmaler; das tut nur ein größeres n.
Woher kommen die exakten Werte von μ und σ für jede Ausgangsverteilung?: Sie folgen aus den Definitionen E[X] = ∫x f(x) dx (oder Σx p(x)) und σ² = E[X²] − μ². Für U(0,1) gilt E[X] = 1/2 und E[X²] = 1/3, also σ² = 1/12. Für die Exponentialverteilung mit Rate 1 ist μ = 1 und E[X²] = 2, also σ = 1. Für eine Binomialverteilung gilt μ = np und σ² = np(1 − p), das gibt 2 und 1,6 für n = 10, p = 0,2. Für einen fairen Würfel ist μ = 3,5 und E[X²] = 91/6, also σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Für die gleich gewichtete Mischung aus N(−1,5; 0,5²) und N(1,5; 0,5²) ist μ = 0 und σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, denn die Varianz einer Mischung ist die mittlere Varianz innerhalb der Komponenten plus die Varianz der Komponentenmittel.

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