Warum ist die Fachnummer gleich der Zahl der Sprünge nach rechts?

Jeder Sprung verschiebt die Kugel um eine halbe Fachbreite nach links oder nach rechts. Nach n Sprüngen, k davon nach rechts und n − k nach links, ist die Nettoverschiebung (k − (n − k))/2 = k − n/2 Fachbreiten von der Mitte. Nummeriert man das linke Fach mit 0 (alle Sprünge links), wird aus dieser Verschiebung der Fachindex k. Das Fach, in dem eine Kugel landet, zählt also nur die Erfolge in n unabhängigen Versuchen, genau die Definition einer binomialverteilten Zufallsgröße.

Warum ist der Haufen in der Mitte am höchsten und nicht flach?

Zum ganz linken Fach führt nur ein Weg (links, links, links, …), zu den mittleren Fächern aber viele: die Zahl der Wege zum Fach k ist der Binomialkoeffizient C(n, k), am größten nahe k = n/2. Bei einem fairen Brett (p = 0,5) ist jeder einzelne Weg gleich wahrscheinlich, die Fachwahrscheinlichkeiten sind also proportional zu C(n, k) — das Pascalsche Dreieck. Bei einem unsymmetrischen Brett sind die Wege nicht mehr gleich wahrscheinlich, und das wahrscheinlichste Fach wandert auf etwa np.

Wie viele Reihen braucht es, bis die Normalkurve passt?

Die Binomialverteilung liegt nahe an N(np, np(1 − p)), wenn np und n(1 − p) beide einigermaßen groß sind; eine gängige Faustregel verlangt für beide mindestens 5 bis 10. Bei p = 0,5 geben schon zwölf Reihen eine gute Anpassung, bei p = 0,1 braucht man viele Reihen, weil die Verteilung an Fach 0 gedrückt wird und sichtbar schief bleibt. Der Simulator lässt das direkt prüfen: p = 0,2 mit 4 Reihen wählen und dann mit 20 Reihen, und die rosa Kurve mit den gelben Marken vergleichen.

Warum wächst die gemessene Standardabweichung nicht proportional zur Zahl der Reihen?

Jeder Sprung fügt einen unabhängigen Schritt hinzu, dessen Varianz p(1 − p) ist. Varianzen unabhängiger Schritte addieren sich, nach n Reihen ist die Varianz also np(1 − p) und die Standardabweichung √(np(1 − p)). Verdoppelt man die Reihen, multipliziert sich die Streuung nur mit √2 ≈ 1,41, nicht mit 2. Gemessen an der vollen Breite des Bretts (n + 1 Fächer) wird der Haufen mit wachsendem n sogar schmaler, eine Art, das Gesetz der großen Zahlen zu sehen.

Galtonbrett (Bohnenmaschine)

Kugeln springen links oder rechts durch Nagelreihen; die Fächer füllen eine Binomialverteilung, die zur Glockenkurve wird. Wenige Reihen gegen viele Reihen.

Brett

Nagelreihen n12

Wahrscheinlichkeit Sprung rechts p0.5

Kugeltempo (Strom)20 Kugeln/s

Überlagerungen

Binomiale Erwartung B(Reihen, p)Normalnäherung N(np, np(1−p))

Jede Kugel ist eine unabhängige Folge von n Bernoulli-Versuchen: an jedem Nagel geht sie mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts, ihr Fachindex ist also die Zahl der Sprünge nach rechts und folgt exakt B(n, p). Höchstens 150 Kugeln werden zugleich animiert; der Rest fällt aus demselben Zufallsstrom mit Startwert direkt in die Fächer. Beide Überlagerungen sind auf die Zahl der Kugeln skaliert, die schon in den Fächern liegen. Ändert man n oder p, leert sich das Brett; Zurücksetzen zieht auch einen neuen Startwert.

Tastenkürzel

Space / Enter — 100 Kugeln fallen lassen
P — Strom starten / pausieren
R — zurücksetzen (neuer Startwert)

Gemessene Größen

Kugeln in Fächern N0

Kugeln unterwegs0

Reihen n12

p (rechts)0.50

Erwartetes Mittel np6.00

Erwartete Streuung √(np(1−p))1.732

Empirisches Mittel des Fachindex—

Empirische Streuung des Fachindex—

Anteil im vollsten Fach—

Zum Modell

Der Simulator bildet Galtons Bohnenmaschine (Quincunx) nach: eine Kugel, oben an einem Dreieck aus n Nagelreihen losgelassen, trifft genau einen Nagel je Reihe und wird mit Wahrscheinlichkeit p um einen halben Schritt nach rechts oder mit Wahrscheinlichkeit 1 − p nach links ausgelenkt. Die Auslenkungen sind unabhängig voneinander und von allem, was vorher geschah, der Weg einer Kugel ist also eine Folge von n Bernoulli-Versuchen. Gehen k der n Sprünge nach rechts, landet die Kugel k Halbschritte rechts von den n − k Sprüngen nach links, also im Fach Nummer k, von links gezählt, mit k = 0, 1, …, n. Die Zahl der Kugeln im Fach k ist daher binomialverteilt: bei N Kugeln ist die erwartete Anzahl N · C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, der mittlere Fachindex ist np und seine Standardabweichung √(np(1 − p)). Die gelben Marken zeichnen genau diese Erwartung, berechnet aus logarithmierten Fakultäten; die rosa Kurve ist die Normaldichte N(np, np(1 − p)), multipliziert mit N (Fachbreite 1), das ist die Näherung von de Moivre–Laplace für die Binomialverteilung. Beide Überlagerungen werden auf die Zahl der Kugeln umskaliert, die gerade in den Fächern liegen, damit der Vergleich mit dem Histogramm jederzeit passt. Die Anzeigen geben das Stichprobenmittel und die Standardabweichung der Grundgesamtheit der gelandeten Fachindizes neben den theoretischen Werten np und √(np(1 − p)) sowie den Anteil der Kugeln im vollsten Fach, der mit wachsendem n gegen die größte Binomialwahrscheinlichkeit schrumpft. Vereinfachungen: die Kugeln stoßen nicht aneinander, Nagelform und Kugelgröße spielen keine Rolle, jeder Sprung ist eine ideale gewichtete Münze, und die Animation zeigt höchstens 150 Kugeln, der Rest wird sofort in die Fächer gelegt; alle Zufallsentscheidungen kommen aus einem einzigen Generator mit Startwert, ein Lauf lässt sich also nach Zurücksetzen innerhalb einer Sitzung wiederholen. p ≠ 0,5 zeigt, wie ein unsymmetrisches Brett den Haufen zur Seite zieht und wie die Normalnäherung nachlässt, wenn np oder n(1 − p) klein ist. Begleitende Simulatoren: statistics/binomial-distribution für die Wahrscheinlichkeitsfunktion allein, statistics/normal-distribution für die Glockenkurve und die z-Werte, statistics/central-limit-theorem für Summen vieler unabhängiger Schritte im Allgemeinen und statistics/law-of-large-numbers dafür, wie sich das empirische Mittel bei np einpendelt.

Für wen: Sekundarstufe I bis Studienbeginn (ab 13 Jahren): erste anschauliche Begegnung mit der Binomialverteilung und ihrem Übergang zur Normalverteilung.

Wichtige Begriffe

bernoulli-versuch
binomialverteilung
erwartungswert np
standardabweichung √(np(1−p))
normalnäherung
satz von de moivre–laplace
unabhängigkeit
histogramm

So funktioniert es

Eine Kugel im Galtonbrett trifft einen Nagel je Reihe und springt mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts oder mit Wahrscheinlichkeit 1 − p nach links, an jedem Nagel unabhängig. Nach n Reihen landet die Kugel im Fach k, wobei k einfach die Zahl der Sprünge nach rechts ist; die Fachzahlen folgen also der Binomialverteilung B(n, p) mit Mittel np und Standardabweichung √(np(1 − p)). Bei vielen Reihen beschreibt die Normalkurve N(np, np(1 − p)) die Treppe der Fächer gut — ein anschauliches Bild des Satzes von de Moivre–Laplace. Die Simulation lässt Stöße zwischen den Kugeln und die Nagelgeometrie weg: jeder Sprung ist ein idealer Münzwurf aus einem Zufallsgenerator mit Startwert.

Wichtige Gleichungen

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = Zahl der Sprünge nach rechts = Fachindex

E[K] = n p, SD(K) = √(n p (1 − p))

großes n: erwartete Anzahl im Fach k ≈ N · φ((k − np)/σ) / σ, σ = √(np(1 − p))

Häufige Fragen

Warum ist die Fachnummer gleich der Zahl der Sprünge nach rechts?: Jeder Sprung verschiebt die Kugel um eine halbe Fachbreite nach links oder nach rechts. Nach n Sprüngen, k davon nach rechts und n − k nach links, ist die Nettoverschiebung (k − (n − k))/2 = k − n/2 Fachbreiten von der Mitte. Nummeriert man das linke Fach mit 0 (alle Sprünge links), wird aus dieser Verschiebung der Fachindex k. Das Fach, in dem eine Kugel landet, zählt also nur die Erfolge in n unabhängigen Versuchen, genau die Definition einer binomialverteilten Zufallsgröße.
Warum ist der Haufen in der Mitte am höchsten und nicht flach?: Zum ganz linken Fach führt nur ein Weg (links, links, links, …), zu den mittleren Fächern aber viele: die Zahl der Wege zum Fach k ist der Binomialkoeffizient C(n, k), am größten nahe k = n/2. Bei einem fairen Brett (p = 0,5) ist jeder einzelne Weg gleich wahrscheinlich, die Fachwahrscheinlichkeiten sind also proportional zu C(n, k) — das Pascalsche Dreieck. Bei einem unsymmetrischen Brett sind die Wege nicht mehr gleich wahrscheinlich, und das wahrscheinlichste Fach wandert auf etwa np.
Wie viele Reihen braucht es, bis die Normalkurve passt?: Die Binomialverteilung liegt nahe an N(np, np(1 − p)), wenn np und n(1 − p) beide einigermaßen groß sind; eine gängige Faustregel verlangt für beide mindestens 5 bis 10. Bei p = 0,5 geben schon zwölf Reihen eine gute Anpassung, bei p = 0,1 braucht man viele Reihen, weil die Verteilung an Fach 0 gedrückt wird und sichtbar schief bleibt. Der Simulator lässt das direkt prüfen: p = 0,2 mit 4 Reihen wählen und dann mit 20 Reihen, und die rosa Kurve mit den gelben Marken vergleichen.
Warum wächst die gemessene Standardabweichung nicht proportional zur Zahl der Reihen?: Jeder Sprung fügt einen unabhängigen Schritt hinzu, dessen Varianz p(1 − p) ist. Varianzen unabhängiger Schritte addieren sich, nach n Reihen ist die Varianz also np(1 − p) und die Standardabweichung √(np(1 − p)). Verdoppelt man die Reihen, multipliziert sich die Streuung nur mit √2 ≈ 1,41, nicht mit 2. Gemessen an der vollen Breite des Bretts (n + 1 Fächer) wird der Haufen mit wachsendem n sogar schmaler, eine Art, das Gesetz der großen Zahlen zu sehen.

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Binomialverteilung

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Balken P(K = k) für n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p; Mittel np, Varianz np(1−p); Voreinstellungen Münze und seltenes Ereignis; Normalüberlagerung bei großem n.

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