Warum ist r bei der Parabel fast null, obwohl y vollständig durch x bestimmt ist?

Pearsons r misst nur den linearen Zusammenhang: wie gut eine Gerade die Wolke beschreibt. Für y = x² auf einem symmetrischen Intervall liegen Punkte mit negativem x im Quadranten −+ und Punkte mit positivem x im Quadranten ++, die positiven und negativen Produkte (x − x̄)(y − ȳ) heben sich also auf und die Kovarianz liegt nahe bei null. Der Zusammenhang ist perfekt, aber nicht linear, r kann ihn also nicht sehen. Das Streudiagramm anzusehen, bevor man r traut, ist entscheidend; ein Korrelationsverhältnis oder ein rangbasiertes Maß würde diese Abhängigkeit erkennen, Pearsons r nicht.

Wie kann ein einzelner Punkt r von 0 auf 0,6 ändern?

Jeder Term der Kovarianz ist ein Produkt zweier Abweichungen von den Mitteln, ein Punkt weit weg von beiden Mitteln liefert also ein riesiges Produkt, gewöhnliche Punkte nur kleine. Bei einer unkorrelierten Wolke mit Varianz etwa 1 und einem Punkt bei (a, a) ist die Korrelation ungefähr a² / (N + a²); für a² = 1,5 N sind das etwa 0,6, ganz gleich wie groß N ist. Derselbe Punkt vergrößert auch s_x und s_y, die Kovarianz wächst aber schneller. Deshalb nennt man r nicht robust: ein Messfehler oder ein Sonderfall kann die Zahl beherrschen, und solche Punkte sollte man prüfen, bevor man r deutet.

Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?

Die Kovarianz s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) trägt die Einheiten von x mal den Einheiten von y, ihre Größe hängt also von der Messskala ab: misst man die Körpergröße in Zentimetern statt in Metern, wird sie mit 100 multipliziert. Teilt man durch die beiden Standardabweichungen, fallen die Einheiten weg, und es entsteht r = s_xy / (s_x s_y), immer zwischen −1 und +1 und unverändert bei jeder linearen Umskalierung von x oder y. Die Kovarianz nennt Vorzeichen und rohe Stärke der gemeinsamen Schwankung; die Korrelation legt sie auf eine gemeinsame Skala, die sich über Datensätze hinweg vergleichen lässt.

Wenn zwei Größen r = 0,9 haben, verursacht dann eine die andere?

Nein. Korrelation beschreibt, wie zwei Zahlenreihen gemeinsam schwanken, nicht warum. Ein hohes r passt dazu, dass x y verursacht, dass y x verursacht, dass beide von einer dritten Größe getrieben werden (Eisverkauf und Ertrinken nehmen beide im Sommer zu) oder dass die Art der Datenerhebung einen Auswahleffekt enthält. Die Voreinstellung mit zwei Gruppen zeigt eine weitere Falle: r ≈ 0,96 entsteht nur, weil sich zwei Gruppen in beiden Variablen unterscheiden, während innerhalb jeder Gruppe gar kein Zusammenhang besteht. Eine Ursache nachzuweisen braucht ein kontrolliertes Experiment oder ein sorgfältiges Kausalargument, keinen Korrelationskoeffizienten.

Pearson-Korrelation

Punktwolke mit einstellbarem r, Kovarianzellipse und einer Parabel-Voreinstellung, bei der r ≈ 0 trotz eines perfekten Zusammenhangs.

Punktwolke

Zielkorrelation ρ0.7

Punktzahl N100

Voreinstellungen (ersetzen den Generator)

1σ-Kovarianzellipse zeigenGerade der kleinsten Quadrate zeigen

Die Punkte kommen aus einer bivariaten Normalverteilung mit Varianz 1: x ~ N(0,1), y = ρx + √(1−ρ²)·ε mit ε ~ N(0,1), die Korrelation der Grundgesamtheit ist also genau ρ und das Stichproben-r streut darum. Voreinstellungen ersetzen diesen Generator; bewegt man den ρ-Regler, kehrt man dahin zurück. r misst nur den linearen Zusammenhang; eine Parabel kann r ≈ 0 ergeben, ein Ausreißer kann r weit von den übrigen Daten wegziehen, und Korrelation zeigt nie eine Ursache. Einen Punkt ziehen oder ins Leere klicken — r wird sofort neu berechnet.

Tastenkürzel

Space / Enter — neue Zufallswolke (gleiche Einstellungen)
R — auf die Vorgaben zurücksetzen
Punkt ziehen · Klick ins Leere fügt einen Punkt hinzu

Gemessene Größen

Punkte N0

Pearson-r—

r²—

Kovarianz s_xy—

Streuung s_x—

Streuung s_y—

Punkte in Quadranten ++ / −−0

Punkte in Quadranten +− / −+0

Zum Modell

Der Simulator zeichnet eine Wolke aus N Punkten und gibt den Korrelationskoeffizienten nach Pearson der Stichprobe an. Voreingestellt kommen die Punkte aus einer bivariaten Normalverteilung mit Varianz 1: x ~ N(0, 1), ε ~ N(0, 1) und y = ρx + √(1 − ρ²)·ε — die Cholesky-Konstruktion in einem Schritt —, sodass die Korrelation von x und y in der Grundgesamtheit genau der Reglerwert ρ ist. Der Stichprobenwert r wird mit der üblichen Formel und Mitteln in zwei Durchgängen berechnet: zuerst x̄ = Σxᵢ/N und ȳ = Σyᵢ/N, dann r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Die Anzeige nennt außerdem die Stichprobenkovarianz s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/(N − 1), die Stichprobenstandardabweichungen s_x und s_y mit demselben Nenner N − 1, r² und, wenn die Gerade eingeschaltet ist, die KQ-Steigung b = s_xy / s_x² = r·s_y/s_x. Die gestrichelten Mittellinien teilen die Ebene in vier Quadranten; ein Punkt im Quadranten ++ oder −− liefert einen positiven Beitrag (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) zur Kovarianz und wird cyan gezeichnet, ein Punkt im Quadranten +− oder −+ einen negativen Beitrag und wird rosa gezeichnet, und die Anzahlen beider Gruppen werden angezeigt. Die grüne Ellipse ist die 1σ-Kontur der angepassten bivariaten Normalverteilung: ihre Achsen sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte der Kovarianzmatrix [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], ihre Neigung ist θ = ½·atan2(2s_xy, s_x² − s_y²). Voreinstellungen ersetzen den Generator durch Fälle, die die Grenzen von r zeigen: eine Parabel y = x² auf x ∈ [−1, 1] mit wenig Rauschen, bei der y eine deterministische Funktion von x ist und trotzdem r ≈ 0; eine unkorrelierte Wolke plus ein einzelner ferner Punkt bei (√1,5N, √1,5N), der für sich r auf etwa 0,6 hebt; und zwei enge, in sich unkorrelierte Gruppen, deren Abstand r ≈ 0,96 ergibt. Punkte lassen sich ziehen und durch Klicken hinzufügen, bei jeder Änderung wird jede Kennzahl exakt neu berechnet. Vereinfachungen: es wird keine schließende Statistik gezeigt (kein p-Wert und kein Konfidenzintervall für r, keine Fisher-z-Transformation), die Regressionsgerade ist nur eingeblendet — die Anpassung nach kleinsten Quadraten selbst steht in math/least-squares, die Anpassungsgüte in math/linear-regression-metrics — und die Grafik skaliert die Achsen auf die Daten, die Ellipse kann also je nach Achsenbereich rund oder schmal aussehen. Verwandte Simulatoren: statistics/normal-distribution für die Randverteilung von x und y, statistics/central-limit-theorem dafür, warum Mittel aus vielen Punkten sich normal verhalten.

Für wen: Oberstufe (Klassen 10–12) und einführende Statistik im ersten Studienjahr; auch für Grundlagen der Datenwissenschaft.

Wichtige Begriffe

pearson-korrelationskoeffizient r
kovarianz
standardabweichung
linearer zusammenhang
bestimmtheitsmaß r²
ausreißer
bivariate normalverteilung
korrelation und kausalität

So funktioniert es

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r misst, wie eng eine Punktwolke einer Geraden folgt: r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²), immer zwischen −1 und 1. Die gestrichelten Linien markieren die Mittel x̄ und ȳ; ein Punkt im Quadranten ++ oder −− (cyan) liefert ein positives Produkt zur Kovarianz, ein Punkt im Quadranten +− oder −+ (rosa) ein negatives, und r ist einfach die Kovarianz geteilt durch die beiden Standardabweichungen. Die grüne 1σ-Ellipse wird durch die Kovarianz geneigt und wird zur schmalen Diagonale, wenn |r| → 1. r beschreibt nur einen linearen Zusammenhang: die Voreinstellung Parabel ist ein perfekter Zusammenhang y = x² mit r ≈ 0, ein einzelner ferner Ausreißer kann r von 0 auf 0,6 schieben, und zwei getrennte Gruppen geben ein hohes r ohne Zusammenhang in der jeweiligen Gruppe. Ein hohes r zeigt für sich nie, dass x y verursacht.

Wichtige Gleichungen

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √( Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)² ) = s_xy / (s_x s_y)

s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (N − 1), s_x² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)

Generator: x ~ N(0,1), ε ~ N(0,1), y = ρx + √(1 − ρ²) ε ⇒ corr(x, y) = ρ

KQ-Steigung b = s_xy / s_x² = r · s_y / s_x

1σ-Ellipse: Achsen √λ₁, √λ₂ der Kovarianzmatrix [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], Neigung θ = ½·atan2(2 s_xy, s_x² − s_y²)

Häufige Fragen

Warum ist r bei der Parabel fast null, obwohl y vollständig durch x bestimmt ist?: Pearsons r misst nur den linearen Zusammenhang: wie gut eine Gerade die Wolke beschreibt. Für y = x² auf einem symmetrischen Intervall liegen Punkte mit negativem x im Quadranten −+ und Punkte mit positivem x im Quadranten ++, die positiven und negativen Produkte (x − x̄)(y − ȳ) heben sich also auf und die Kovarianz liegt nahe bei null. Der Zusammenhang ist perfekt, aber nicht linear, r kann ihn also nicht sehen. Das Streudiagramm anzusehen, bevor man r traut, ist entscheidend; ein Korrelationsverhältnis oder ein rangbasiertes Maß würde diese Abhängigkeit erkennen, Pearsons r nicht.
Wie kann ein einzelner Punkt r von 0 auf 0,6 ändern?: Jeder Term der Kovarianz ist ein Produkt zweier Abweichungen von den Mitteln, ein Punkt weit weg von beiden Mitteln liefert also ein riesiges Produkt, gewöhnliche Punkte nur kleine. Bei einer unkorrelierten Wolke mit Varianz etwa 1 und einem Punkt bei (a, a) ist die Korrelation ungefähr a² / (N + a²); für a² = 1,5 N sind das etwa 0,6, ganz gleich wie groß N ist. Derselbe Punkt vergrößert auch s_x und s_y, die Kovarianz wächst aber schneller. Deshalb nennt man r nicht robust: ein Messfehler oder ein Sonderfall kann die Zahl beherrschen, und solche Punkte sollte man prüfen, bevor man r deutet.
Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?: Die Kovarianz s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) trägt die Einheiten von x mal den Einheiten von y, ihre Größe hängt also von der Messskala ab: misst man die Körpergröße in Zentimetern statt in Metern, wird sie mit 100 multipliziert. Teilt man durch die beiden Standardabweichungen, fallen die Einheiten weg, und es entsteht r = s_xy / (s_x s_y), immer zwischen −1 und +1 und unverändert bei jeder linearen Umskalierung von x oder y. Die Kovarianz nennt Vorzeichen und rohe Stärke der gemeinsamen Schwankung; die Korrelation legt sie auf eine gemeinsame Skala, die sich über Datensätze hinweg vergleichen lässt.
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