Warum hat der IQ-Wert 115 dasselbe Perzentil wie der SAT-Wert 1250?

Beide liegen genau eine Standardabweichung über ihrem Mittel: (115 − 100)/15 = 1 und (1250 − 1050)/200 = 1. Der z-Wert lässt Einheiten und Skala weg und behält nur, wie viele Standardabweichungen ein Wert von der Mitte entfernt liegt. Jede Normalverteilung hat in z-Einheiten dieselbe Form, eine Tafel von Φ(z) beantwortet also Fragen zu allen. Φ(1) = 0,8413, beide Werte liegen also am 84,13. Perzentil.

Wenn 95 % der Werte innerhalb ±2σ liegen, warum nutzt das zweiseitige 95-%-Intervall z = 1,96 und nicht 2?

Die Angabe ±2σ ist eine gerundete Faustregel: die genaue Wahrscheinlichkeit innerhalb ±2σ ist 95,45 %, nicht 95 %. Löst man Φ(z) = 0,975 mit der inversen Normalverteilung, ergibt sich z = 1,95996…, die mittleren 95 % liegen also zwischen −1,96σ und +1,96σ, und jede Flanke trägt genau 2,5 %. Ebenso nutzt das genaue 99-%-Intervall 2,576 und nicht 3; ±3σ umfasst 99,73 %. Die Regel 68–95–99.7 ist fürs Kopfrechnen, die inverse Normalverteilung liefert die genauen Grenzen.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, etwa genau 100, gleich null?

Bei einer stetigen Größe ist Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichtekurve, und ein einzelner Punkt hat die Breite null und daher die Fläche null. P(X = 100) = 0, obwohl 100 die wahrscheinlichste Gegend ist in dem Sinn, dass die Dichte dort am höchsten ist. Sinnvolle Fragen betreffen Intervalle: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 für IQ-Werte. Deshalb sind P(X < x) und P(X ≤ x) bei einer normalverteilten Größe dieselbe Zahl, und linke Flanke, rechte Flanke und Intervallfläche ergeben zusammen immer 1.

Warum liegen beim Fallenlassen von 200 Punkten nicht genau 136 innerhalb ±1σ (68,27 % von 200)?

Jeder Punkt fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6827 in ±1σ, die Anzahl ist also binomialverteilt mit Mittel 136,5 und Standardabweichung √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Anzahlen etwa von 123 bis 150 sind daher gewöhnliche Ergebnisse, und der beobachtete Anteil streut um rund ±3 Prozentpunkte um 68,3 %. Die Regel beschreibt den Grenzwert einer sehr großen Stichprobe, nicht jede einzelne; bei n = 20 000 schrumpft die Streuung auf etwa ±0,3 Prozentpunkte. Hier wirkt das Gesetz der großen Zahlen.

Normalverteilung und z-Werte

Q: Warum liegen beim Fallenlassen von 200 Punkten nicht genau 136 innerhalb ±1σ (68,27 % von 200)?

Jeder Punkt fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6827 in ±1σ, die Anzahl ist also binomialverteilt mit Mittel 136,5 und Standardabweichung √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Anzahlen etwa von 123 bis 150 sind daher gewöhnliche Ergebnisse, und der beobachtete Anteil streut um rund ±3 Prozentpunkte um 68,3 %. Die Regel beschreibt den Grenzwert einer sehr großen Stichprobe, nicht jede einzelne; bei n = 20 000 schrumpft die Streuung auf etwa ±0,3 Prozentpunkte. Hier wirkt das Gesetz der großen Zahlen.

Glockenkurve mit μ und σ; schattierte Flanken, die Regel 68–95–99.7 und ein eingebauter Umrechner x → z = (x − μ)/σ.

Glockenkurve N(μ, σ²)

Mittel μ100

Standardabweichung σ15

Schattierte Fläche

Bänder 68–95–99.7 zeigen

z-Wert-Umrechner

x (Rohwert)Perzentil (%)

x, das Perzentil und die rosa Marke sind ein und derselbe Wert: ändert man eines, folgen die anderen.

Φ(z) wird aus der Fehlerfunktion mit Codys rationaler Näherung berechnet (relativer Fehler unter 10⁻¹⁵), die Umkehrung mit Acklams Algorithmus plus einem Halley-Verfeinerungsschritt. Die 200 gesetzten Punkte sind exakte Ziehungen aus N(μ, σ²) (Box–Muller) und werden als z-Werte gespeichert, sie wandern also mit der Kurve, wenn man μ oder σ ändert. Das Fenster zeigt immer μ ± 4σ.

Tastenkürzel

Space / Enter — 200 Punkte fallen lassen
R — zurücksetzen
Rosa Marke auf der Fläche ziehen, um x (und b) zu verschieben

Gemessene Größen

Mittel μ100.0

Standardabweichung σ15.0

x115.0

z = (x − μ)/σ1.000

Schattierte Wahrscheinlichkeit P(X < x)0.84134

Perzentil von x = 100·Φ(z)84.13%

Zum Modell

Der Simulator zeichnet die Dichte einer normalverteilten (gaußschen) Zufallsgröße X ~ N(μ, σ²), f(x) = exp(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)), im Fenster μ ± 4σ. Das Mittel μ legt die Lage des Gipfels fest, die Standardabweichung σ die Breite; die Fläche unter der ganzen Kurve ist 1, jeder schattierte Teil davon ist also eine Wahrscheinlichkeit. Unter der rohen x-Achse zeigt eine zweite Achse dieselben Stellen als z-Werte, z = (x − μ)/σ, die jede Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung N(0, 1) abbilden. Alle Wahrscheinlichkeiten werden aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z) = ½·erfc(−z/√2) berechnet, ausgewertet mit W. J. Codys rationaler Tschebyschow-Näherung der komplementären Fehlerfunktion (relativer Fehler unter 10⁻¹⁵, weit innerhalb der 10⁻⁷, die nötig sind, um mit gedruckten z-Tafeln auf jede Stelle übereinzustimmen). Vier Schattierungsarten stehen bereit: die linke Flanke P(X < x) = Φ(z); die rechte Flanke P(X > x) = 1 − Φ(z); die zweiseitige Wahrscheinlichkeit P(|Z| > |z|) = 2(1 − Φ(|z|)), die Größe für zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle; und das Intervall P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Die Marke auf der Fläche, das Feld x und das Perzentilfeld sind derselbe Zustand, der Umrechner arbeitet also in beide Richtungen: x → z → Perzentil 100·Φ(z) und Perzentil → z → x = μ + zσ. Die Umkehrfunktion Φ⁻¹ benutzt P. J. Acklams rationale Näherung und danach einen Halley-Verfeinerungsschritt mit dem genauen Φ; das bringt sie auf volle doppelte Genauigkeit (Φ⁻¹(0,975) = 1,959964…). Die Bänder 68–95–99.7 schattieren ±1σ, ±2σ und ±3σ und beschriften jeden Abschnitt mit seinem genauen Anteil (34,1 %, 13,6 %, 2,1 %, 0,1 %); die genauen Summen sind 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %. „200 Punkte fallen lassen“ zieht 200 unabhängige Werte aus N(μ, σ²) mit der Box–Muller-Transformation auf einem Generator mit Startwert und zeigt sie als farbige Punkte über der Achse; die Anzeigen zählen, wie viele in ±1σ, ±2σ und ±3σ liegen, sodass man die Regel an einer endlichen Stichprobe prüfen kann, die bei n = 200 um etwa ±3 Prozentpunkte um die theoretischen Anteile streut. Vereinfachungen: das Modell ist die idealisierte stetige Normalverteilung ohne Abschneiden, Runden oder Diskretheit, echte IQ- oder SAT-Punkte, ganze Zahlen auf einer begrenzten Skala, folgen ihr also nur näherungsweise; die Stichprobenpunkte werden bei jedem Fallenlassen ersetzt und nicht angesammelt. Verwandte Simulatoren auf dieser Seite: statistics/galton-board und statistics/binomial-distribution (wie die Glockenkurve aus vielen kleinen Zufallsschritten entsteht), statistics/law-of-large-numbers, statistics/confidence-interval und statistics/p-value (sie nutzen die hier gezeichneten zweiseitigen und einseitigen Flächen) sowie statistics/type-i-ii-errors-power.

Für wen: Oberstufe und Studienbeginn: einführender Kurs in Wahrscheinlichkeit.

Wichtige Begriffe

normalverteilung
mittel μ und standardabweichung σ
z-wert
standardnormalverteilung Φ(z)
perzentil
regel 68–95–99.7
flankenwahrscheinlichkeit
inverse normalverteilung (quantil)

So funktioniert es

Die Normalverteilung N(μ, σ²) ist die glockenförmige Dichte f(x) = exp(−(x − μ)²/2σ²)/(σ√(2π)); μ setzt ihre Mitte, σ ihre Breite. Jede normalverteilte Größe wird über den z-Wert z = (x − μ)/σ zur Standardnormalverteilung, deshalb reicht eine Tafel von Φ(z) für IQ-Werte, Körpergrößen und SAT-Ergebnisse gleichermaßen. Die schattierte Fläche unter der Kurve ist eine Wahrscheinlichkeit: die linke Flanke P(X < x) = Φ(z), die rechte Flanke 1 − Φ(z), die zweiseitige P(|Z| > z) = 2(1 − Φ(|z|)) und P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Die Regel 68–95–99.7 sagt, dass 68,27 %, 95,45 % und 99,73 % der Wahrscheinlichkeit innerhalb ±1σ, ±2σ und ±3σ liegen; lässt man 200 Zufallspunkte fallen, sieht man, wie nah eine echte Stichprobe der Regel kommt. Die Kurve selbst endet nie, kein Intervall hat also die Wahrscheinlichkeit genau 1 — nur die Stichprobe ist endlich.

Wichtige Gleichungen

f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x − μ)² / (2σ²))

z = (x − μ) / σ ⇔ x = μ + zσ

P(X < x) = Φ(z) = ½ · erfc(−z/√2) · P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)

P(|Z| ≤ 1) = 0,6827 P(|Z| ≤ 2) = 0,9545 P(|Z| ≤ 3) = 0,9973

Perzentil p → z = Φ⁻¹(p/100), z. B. Φ⁻¹(0,975) = 1,95996

Häufige Fragen

Warum hat der IQ-Wert 115 dasselbe Perzentil wie der SAT-Wert 1250?: Beide liegen genau eine Standardabweichung über ihrem Mittel: (115 − 100)/15 = 1 und (1250 − 1050)/200 = 1. Der z-Wert lässt Einheiten und Skala weg und behält nur, wie viele Standardabweichungen ein Wert von der Mitte entfernt liegt. Jede Normalverteilung hat in z-Einheiten dieselbe Form, eine Tafel von Φ(z) beantwortet also Fragen zu allen. Φ(1) = 0,8413, beide Werte liegen also am 84,13. Perzentil.
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Warum ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, etwa genau 100, gleich null?: Bei einer stetigen Größe ist Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichtekurve, und ein einzelner Punkt hat die Breite null und daher die Fläche null. P(X = 100) = 0, obwohl 100 die wahrscheinlichste Gegend ist in dem Sinn, dass die Dichte dort am höchsten ist. Sinnvolle Fragen betreffen Intervalle: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 für IQ-Werte. Deshalb sind P(X < x) und P(X ≤ x) bei einer normalverteilten Größe dieselbe Zahl, und linke Flanke, rechte Flanke und Intervallfläche ergeben zusammen immer 1.
Warum liegen beim Fallenlassen von 200 Punkten nicht genau 136 innerhalb ±1σ (68,27 % von 200)?: Jeder Punkt fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6827 in ±1σ, die Anzahl ist also binomialverteilt mit Mittel 136,5 und Standardabweichung √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Anzahlen etwa von 123 bis 150 sind daher gewöhnliche Ergebnisse, und der beobachtete Anteil streut um rund ±3 Prozentpunkte um 68,3 %. Die Regel beschreibt den Grenzwert einer sehr großen Stichprobe, nicht jede einzelne; bei n = 20 000 schrumpft die Streuung auf etwa ±0,3 Prozentpunkte. Hier wirkt das Gesetz der großen Zahlen.

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