Warum gilt der Stoß als vollkommen unelastisch? Es geht doch Energie verloren?

Das Geschoss bleibt im Klotz stecken, und beide bewegen sich gemeinsam — das ist die Definition des vollkommen unelastischen Stoßes. Ein Teil der kinetischen Energie geht in Wärme und Verformung, deshalb darf man den Energieerhaltungssatz nicht auf den Stoß selbst anwenden. Für den kurzen Augenblick des Stoßes bleibt der Impuls des Systems „Geschoss + Klotz“ erhalten.

Braucht man die Näherung für kleine Winkel?

Nein. Die Formel für θ_max kommt aus der genauen Energie ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), die Bewegung aus der vollen Pendelgleichung. Die Näherung sin θ ≈ θ gilt nur bei sehr kleinen Amplituden und wird hier nicht verwendet.

Wozu brauchte man das in der Ballistik?

Vor der Elektronik schätzte man so die Mündungsgeschwindigkeit: man maß den Auslenkwinkel eines schweren hängenden Klotzes und rechnete v₀ aus Impuls und Energie. Heute ist das vor allem ein Praktikumsversuch zu den Erhaltungssätzen.

Was fehlt im Idealmodell?

Luftwiderstand beim Ausschwingen, Reibung in der Aufhängung, das Trägheitsmoment des Klotzes (er gilt als Massepunkt) und die Elastizität des Stabes. Im wirklichen Versuch ergibt das einen systematischen Fehler.

Ballistisches Pendel

Ein Geschoss trifft einen hängenden Klotz: vollkommen unelastischer Stoß oder Stoß mit Stoßzahl e. Aus dem Impuls folgt ω₀ = v/L, aus der Energie θ_max; im Graphen kinetische und potentielle Energie.

Diagramme

Zum Modell

Das ballistische Pendel ist der klassische Weg, die Geschwindigkeit eines Geschosses zu schätzen, ohne eine hohe Geschwindigkeit direkt zu messen. Zwei Schritte: ein vollkommen unelastischer Stoß (das Geschoss der Masse m bleibt im Klotz der Masse M stecken), danach verlustfreies Ausschwingen. Der Impuls liefert (M + m)V = mv₀. Den maximalen Winkel auf der Tafel gibt die Energieerhaltung ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max). Die Animation integriert θ″ = −(g/L) sin θ (Velocity-Verlet), nicht die Näherung sin θ ≈ θ. Zusätzlich gibt es einen eindimensionalen Stoß mit der Stoßzahl e, wenn am Faden nur die Masse M hängt. Die Graphen zeigen kinetische, potentielle und gesamte mechanische Energie. Vereinfachungen: masseloser Stab, keine Reibung und kein Luftwiderstand, der Stoß ist instantan.

Für wen: Gymnasium und erstes Semester: Impulserhaltung beim unelastischen Stoß, danach Energieerhaltung am Pendel.

Wichtige Begriffe

ballistisches Pendel
Impulserhaltung
Energieerhaltungssatz
vollkommen unelastischer Stoß
maximaler Auslenkwinkel
Stoßzahl
Geschwindigkeit des Geschosses

So funktioniert es

Das Geschoss trifft den hängenden Klotz im tiefsten Punkt; der Impuls liegt längs der Tangente. Beim vollkommen unelastischen Stoß bleibt das Geschoss stecken: (M + m)V = mv₀, danach verlustfreies Ausschwingen. Bei der Stoßzahl e ist der Stoß eindimensional: der Klotz erhält v₂′ = (1 + e)mv₀/(m + M), das Geschoss prallt mit v₁′ = v₀ − (1 + e)Mv₀/(m + M) zurück; am Faden hängt nur der Klotz, daher ω₀ = v₂′/L. Den maximalen Winkel aus ½M v₂′² = MgL(1 − cos θ_max) können Sie mit der numerischen Lösung der Pendelgleichung vergleichen.

Wichtige Gleichungen

Eingebettet: (M+m)V = mv₀ · ½(M+m)V² = (M+m)gL(1−cos θ_max)

Allgemein: v₂′ = (1+e)mv₀/(m+M) · ω₀ = v₂′/L

Häufige Fragen

Warum gilt der Stoß als vollkommen unelastisch? Es geht doch Energie verloren?: Das Geschoss bleibt im Klotz stecken, und beide bewegen sich gemeinsam — das ist die Definition des vollkommen unelastischen Stoßes. Ein Teil der kinetischen Energie geht in Wärme und Verformung, deshalb darf man den Energieerhaltungssatz nicht auf den Stoß selbst anwenden. Für den kurzen Augenblick des Stoßes bleibt der Impuls des Systems „Geschoss + Klotz“ erhalten.
Braucht man die Näherung für kleine Winkel?: Nein. Die Formel für θ_max kommt aus der genauen Energie ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), die Bewegung aus der vollen Pendelgleichung. Die Näherung sin θ ≈ θ gilt nur bei sehr kleinen Amplituden und wird hier nicht verwendet.
Wozu brauchte man das in der Ballistik?: Vor der Elektronik schätzte man so die Mündungsgeschwindigkeit: man maß den Auslenkwinkel eines schweren hängenden Klotzes und rechnete v₀ aus Impuls und Energie. Heute ist das vor allem ein Praktikumsversuch zu den Erhaltungssätzen.
Was fehlt im Idealmodell?: Luftwiderstand beim Ausschwingen, Reibung in der Aufhängung, das Trägheitsmoment des Klotzes (er gilt als Massepunkt) und die Elastizität des Stabes. Im wirklichen Versuch ergibt das einen systematischen Fehler.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Klassische Mechanik“.

Ganze Kategorie →

NeuSchule