Warum ist die Beschleunigung kleiner als g?

Die Abnahme von mgh teilt sich auf mv²/2 des Schwerpunkts und Iω²/2 der Rotation. Die Bindung v = ω r lässt nicht die ganze Energie in die Bahnbewegung gehen, daher a = g / (1 + I/(M r²)) < g.

Warum fällt die Beschleunigung, wenn der Scheibenradius R größer wird?

Bei festem Achsradius r vergrößert wachsendes R das Trägheitsmoment I = ½ M R². Pro Meter Abstieg geht mehr Energie in die Rotation, die Bahnbeschleunigung nimmt ab.

Wird die Masse des Fadens berücksichtigt?

Nein: der Faden ist leicht, auf der Achse gibt es kein Gleiten.

Maxwell wheel (yo-yo disk)

Q: Warum fällt die Beschleunigung, wenn der Scheibenradius R größer wird?

Bei festem Achsradius r vergrößert wachsendes R das Trägheitsmoment I = ½ M R². Pro Meter Abstieg geht mehr Energie in die Rotation, die Bahnbeschleunigung nimmt ab.

Q: Wird die Masse des Fadens berücksichtigt?

Nein: der Faden ist leicht, auf der Achse gibt es kein Gleiten.

Die Scheibe wickelt den Faden von der dünnen Achse ab: potentielle Energie geht in Bahnbewegung und Drehung, a = g / (1 + I/(M r²)).

Zum Modell

Das Maxwellsche Rad ist eine Scheibe auf einer Achse; der Faden ist auf eine Achse mit kleinem Radius r gewickelt. Beim Abstieg bewegt sich der Schwerpunkt translatorisch, die Scheibe dreht sich: v = ω r, sofern kein Gleiten auftritt. Aus dem Energieerhaltungssatz (oder aus der Dynamik) folgt die Schwerpunktsbeschleunigung a = g / (1 + I/(M r²)), wobei I das Trägheitsmoment bezüglich des Mittelpunkts ist. Für eine Vollscheibe gilt I = ½ M R², daher geht ein Teil der Abnahme von mgh in Iω²/2, und |a| < g. Der Faden ist masselos, Gleiten fehlt. Die Umkehr am unteren Punkt ist auf dem Bildschirm stilisiert, kein Stoß gegen den Boden.

Für wen: Oberstufe und Hochschulmechanik: Rotationsenergie, Trägheitsmoment, Zwangsbedingung v = ωr.

Wichtige Begriffe

Maxwellsches Rad
Trägheitsmoment
kinematische Zwangsbedingung
Energieerhaltungssatz
Rotationsenergie

So funktioniert es

Die Scheibe wickelt den Faden von der Achse des Radius r ab: der Mittelpunkt sinkt, die Scheibe läuft an, v = ω r. Die Abnahme von mgh teilt sich auf mv²/2 und Iω²/2, daher a = g / (1 + I/(M r²)) < g. Für eine Vollscheibe gilt I = ½ M R². Die Umkehr unten ist auf dem Bildschirm stilisiert.

Häufige Fragen

Warum ist die Beschleunigung kleiner als g?: Die Abnahme von mgh teilt sich auf mv²/2 des Schwerpunkts und Iω²/2 der Rotation. Die Bindung v = ω r lässt nicht die ganze Energie in die Bahnbewegung gehen, daher a = g / (1 + I/(M r²)) < g.
Warum fällt die Beschleunigung, wenn der Scheibenradius R größer wird?: Bei festem Achsradius r vergrößert wachsendes R das Trägheitsmoment I = ½ M R². Pro Meter Abstieg geht mehr Energie in die Rotation, die Bahnbeschleunigung nimmt ab.
Wird die Masse des Fadens berücksichtigt?: Nein: der Faden ist leicht, auf der Achse gibt es kein Gleiten.

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