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Startseite/Gravitation und Bahnen/Mehrstufenrakete

Mehrstufenrakete

Δv je Stufe; Summe gegen eine einstufige Rakete bei gleicher gesamter Treibstoffmasse.

Stufen nach Ziolkowski

2 t
3200 m/s

Stufe 1 (unten)

4 t
38 t

Stufe 2

3 t
12 t

Jedes Brennen: Δvᵢ = v_e ln(m_vor / m_nach) mit Massen von der Nutzlast abwärts. Der einstufige Vergleich — dieselbe gesamte Leermasse plus Treibstoff in einem Tank (ohne Trennung).

Tastenkürzel

  • •Massen in Tonnen (t); in diesem Modell ist v_e auf allen Stufen gleich

Gemessene Größen

ΣΔv gestuft7.2217 km/s
Δv einstufig6.0170 km/s
Gewinn (gestuft − einstufig)1.2047 km/s

Diagramme

Zum Modell

Die Mehrstufenrakete erreicht eine größere charakteristische Geschwindigkeit als eine einstufige mit derselben gesamten Treibstoffmasse: leere Tanks werden früher abgeworfen. Die Raketengrundgleichung nach Ziolkowski gibt Δv = v_e ln(m_i/m_f) für jedes Brennen. Die Arbeit einer Stufe beginnt mit der Nutzlastmasse plus aller noch nicht abgeworfenen Stufen und endet nach dem Verbrauch ihres Treibstoffs. Die Summe der Δv über die Stufen ist der gesamte Geschwindigkeitszuwachs. Eine einstufige Rakete mit derselben Leermasse und demselben Treibstoff beschleunigt die ganze Struktur bis zum Brennschluss. Atmosphäre, Gravitationsverluste und endliche Brenndauer bleiben unberücksichtigt.

Für wen: Schule und Studienbeginn: Raketengrundgleichung nach Ziolkowski nach der 2. kosmischen Geschwindigkeit; neben dem Oberth-Effekt und dem Hohmann-Übergang.

Wichtige Begriffe

  • raketengrundgleichung nach ziolkowski
  • stufung
  • spezifischer impuls
  • massenverhältnis
  • charakteristische geschwindigkeit
  • nutzlast

So funktioniert es

Raketengrundgleichung nach Ziolkowski für jede Stufe: Δv = v_e ln(m_i/m_f), wobei m_i die Masse vor dem Brennen der Stufe ist und m_f unmittelbar nach dem Verbrauch ihres Treibstoffs (leere Tanks der vorigen sind schon abgeworfen). Die Summe der Stufen gibt das gesamte Δv. Die einstufige Variante trägt dieselbe gesamte Leermasse in einem Rumpf, daher wird Ballast länger mitgeschleppt und Δv ist bei gleichem v_e kleiner. Am Bildschirm: Δv-Säulen nach Stufen und der Vergleich mit der einstufigen Rakete.

Wichtige Gleichungen

Δv_ges = Σ v_e ln(m_vor,k / m_nach,k)
Einstufig: Δv = v_e ln((P + D + F) / (P + D))

Häufige Fragen

Warum ist das Δv der einstufigen Rakete kleiner?
Es wird dieselbe Treibstoffmasse mit derselben Ausströmgeschwindigkeit verbrannt, aber die einstufige Rakete trägt die ganze Leermasse bis zum Brennschluss. Die Stufung erlaubt, leere Strukturen früher abzuwerfen, sodass spätere Brennvorgänge eine kleinere Masse beschleunigen.
Sind Gravitationsverluste berücksichtigt?
Nein. Das ist ein idealisiertes Vakuummodell: ohne Luftwiderstand und mit instantanem Impuls.