Warum der Sternentag und nicht genau 24 Stunden?

An einem Sternentag dreht sich die Erde um 360° relativ zu fernen Sternen. Der Sonnentag ist länger: man muss sich etwas weiter drehen, bis die Sonne wieder auf demselben Meridian steht. Für das „Hängen“ über einem Erdpunkt nimmt man die siderische Winkelgeschwindigkeit.

Wenn man fälschlich ω = 2π/T für solare 24 h nimmt, wächst oder schrumpft der GEO-Radius?

Er wächst: größeres T gibt kleineres ω, und r = (GM/ω²)^{1/3} wächst, wenn ω fällt. Die wirkliche GEO-Höhe folgt aus dem Sternentag.

Ist die Bahn in Wirklichkeit ein idealer Kreis?

Nein: Störungen durch Mond und Sonne, Nichtzentralität des Erdfelds (J₂), Strahlungsdruck; die Stationen halten die zugewiesene Position durch Korrekturen. Hier: idealer Kreis und Punktmasse.

Ist das dieselbe Bahn wie bei GPS oder Starlink?

Nein. GPS — mittlere Höhen mit einer Periode um 12 h. Starlink — niedrige Erdumlaufbahn. „Schweben“ gibt nur Äquator, Inklination null und Übereinstimmung von ω mit der siderischen Erdrotation.

Geostationäre Bahn

Bedingung ω²r = GM/r² nach Sternentag und Sonnentag; Ansicht im mit der Erde mitrotierenden System und Länge des Subsatellitenpunkts.

Zum Modell

Die geostationäre Bahn: ein Satellit bleibt über einem Meridian am Äquator, weil die Winkelgeschwindigkeit der Bahn mit der Erdrotation zusammenfällt. Für eine kreisförmige Äquatorbahn gilt ω²r = GM/r², also r = (GM/ω²)^{1/3}. Die Winkelgeschwindigkeit ω nimmt man nach dem Sternentag (~23 h 56 min), nicht nach dem Sonnentag von 24 h: an einem Sonnentag dreht sich die Erde etwas mehr als 360°, weil sie sich um die Sonne bewegt. Die siderische Periode liefert die Höhe der geostationären Bahn ≈ 35 786 km über dem Äquator. Setzt man den Sonnentag ein, ist ω kleiner und r etwas größer. Am Bildschirm: erdfeste Ansicht — die Meridiane drehen sich, Satellit und Nadir stehen still.

Für wen: Einführung in die Bahndynamik nach Kreisbahngeschwindigkeit und dem 3. Keplerschen Gesetz; neben Hohmann-Transfer und Weltraumlift.

Wichtige Begriffe

geostationäre bahn
sternentag
winkelgeschwindigkeit
zweikörperproblem
nadirpunkt
bahnradius
erdrotation

So funktioniert es

Geostationäre Bahn: ω²r = GM/r² für eine kreisförmige Äquatorbahn, r = (GM/ω²)^{1/3}. Der Sternentag (~23 h 56 min) setzt ω für die Ruhe über einem Meridian. Der Sonnentag von 24 h ist länger, daher ist ω kleiner und das gerechnete r etwas größer. Am Bildschirm ist die Ansicht erdfest: Meridiane drehen sich, Satellit und Nadir stehen still. Ein Schalter wechselt die Periode T.

Wichtige Gleichungen

ω = 2π/T · r³ = GM/ω² · v = √(GM/r) · h = r − R⊕

Häufige Fragen

Warum der Sternentag und nicht genau 24 Stunden?: An einem Sternentag dreht sich die Erde um 360° relativ zu fernen Sternen. Der Sonnentag ist länger: man muss sich etwas weiter drehen, bis die Sonne wieder auf demselben Meridian steht. Für das „Hängen“ über einem Erdpunkt nimmt man die siderische Winkelgeschwindigkeit.
Wenn man fälschlich ω = 2π/T für solare 24 h nimmt, wächst oder schrumpft der GEO-Radius?: Er wächst: größeres T gibt kleineres ω, und r = (GM/ω²)^{1/3} wächst, wenn ω fällt. Die wirkliche GEO-Höhe folgt aus dem Sternentag.
Ist die Bahn in Wirklichkeit ein idealer Kreis?: Nein: Störungen durch Mond und Sonne, Nichtzentralität des Erdfelds (J₂), Strahlungsdruck; die Stationen halten die zugewiesene Position durch Korrekturen. Hier: idealer Kreis und Punktmasse.
Ist das dieselbe Bahn wie bei GPS oder Starlink?: Nein. GPS — mittlere Höhen mit einer Periode um 12 h. Starlink — niedrige Erdumlaufbahn. „Schweben“ gibt nur Äquator, Inklination null und Übereinstimmung von ω mit der siderischen Erdrotation.

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