Warum ist der Planet im Perihel schneller als im Aphel?

2. Keplersches Gesetz: in derselben Zeit wird dieselbe Fläche überstrichen. Näher an der Sonne ist der Fahrstrahl kürzer, daher legt der Körper im gleichen Intervall einen größeren Bogen zurück — die Geschwindigkeit ist größer. Das ist dieselbe Aussage wie die Drehimpulserhaltung im Zentralfeld.

Warum verknüpft das 3. Gesetz gerade T² und a³?

Für die Kreisbahn im Feld ∝ 1/r² folgt aus der Gleichheit von Gravitation und Zentripetalkraft ω²r³ = GM; mit ω = 2π/T ergibt das T² ∝ r³. Für die Ellipse im Zweikörperproblem übernimmt die große Halbachse a die Rolle des Abstands.

Gelten die Keplerschen Gesetze auch für Erdsatelliten?

Ja, als gute Näherung: die Zentralmasse ist die Erde, T² = (4π²/GM) a³. Zu berücksichtigen sind Störungen, die Erdabplattung und der Luftwiderstand auf niedriger Bahn; für eine schulische Abschätzung des 3. Gesetzes reicht das.

Sind die Planetenbahnen ideale Ellipsen?

Über kurze Zeiten — nahezu ja. Die anderen Planeten drehen das Perihel langsam und verzerren die Ellipse etwas. Bei Merkur kommt noch ein Beitrag der Allgemeinen Relativitätstheorie hinzu — etwa 43″ pro Jahrhundert nach Abzug der Newtonschen Störungen.

Keplersche Gesetze

Elliptische Bahnen und gleicher Flächeninhalt in gleichen Zeiten (Flächensatz).

Zum Modell

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Planetenbewegung um die Sonne im Zweikörperproblem. Erstes: die Bahn ist eine Ellipse, die Sonne in einem Brennpunkt. Zweites (Flächensatz): der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen — das ist die Drehimpulserhaltung. Drittes: die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen, T² ∝ a³, bei derselben Zentralmasse. Newton zeigte, dass alles aus F = GMm/r² folgt. Sie können die große Halbachse, die Exzentrizität und die Zentralmasse ändern und Umlaufzeit sowie die Geschwindigkeit in Perihel und Aphel vergleichen. Störungen durch andere Planeten und die relativistische Periheldrehung Merkurs fehlen.

Für wen: Schulastronomie und Mechanik nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz; neben den Seiten zur Bahnbewegung und zum Hohmann-Übergang.

Wichtige Begriffe

Keplersche Gesetze
elliptische Bahn
Flächensatz
große Halbachse
Umlaufzeit
Exzentrizität
Zweikörperproblem
3. Keplersches Gesetz

So funktioniert es

Kepler I: gebundene Bahnen sind Ellipsen mit der Zentralmasse in einem Brennpunkt. Kepler II: der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen — hier entsprechen farbige Sektoren gleichem Δt und sollen nahezu gleiche Fläche haben (numerische Streuung angezeigt). Kepler III: in diesem Zweikörpermodell gilt T² ∝ a³ bei konstantem GM; ändern Sie a und GM und beobachten Sie, wie T²/a³ der umgekehrten GM-Skalierung folgt.

Wichtige Gleichungen

M = E − e sin E → Planet (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Häufige Fragen

Warum ist der Planet im Perihel schneller als im Aphel?: 2. Keplersches Gesetz: in derselben Zeit wird dieselbe Fläche überstrichen. Näher an der Sonne ist der Fahrstrahl kürzer, daher legt der Körper im gleichen Intervall einen größeren Bogen zurück — die Geschwindigkeit ist größer. Das ist dieselbe Aussage wie die Drehimpulserhaltung im Zentralfeld.
Warum verknüpft das 3. Gesetz gerade T² und a³?: Für die Kreisbahn im Feld ∝ 1/r² folgt aus der Gleichheit von Gravitation und Zentripetalkraft ω²r³ = GM; mit ω = 2π/T ergibt das T² ∝ r³. Für die Ellipse im Zweikörperproblem übernimmt die große Halbachse a die Rolle des Abstands.
Gelten die Keplerschen Gesetze auch für Erdsatelliten?: Ja, als gute Näherung: die Zentralmasse ist die Erde, T² = (4π²/GM) a³. Zu berücksichtigen sind Störungen, die Erdabplattung und der Luftwiderstand auf niedriger Bahn; für eine schulische Abschätzung des 3. Gesetzes reicht das.
Sind die Planetenbahnen ideale Ellipsen?: Über kurze Zeiten — nahezu ja. Die anderen Planeten drehen das Perihel langsam und verzerren die Ellipse etwas. Bei Merkur kommt noch ein Beitrag der Allgemeinen Relativitätstheorie hinzu — etwa 43″ pro Jahrhundert nach Abzug der Newtonschen Störungen.

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