Warum ist der masseärmere Stern schneller und auf der größeren Bahn?

Beide Sterne umlaufen den gemeinsamen Massenmittelpunkt mit derselben Periode. Die Bedingung des Massenmittelpunkts: M₁ r₁ = M₂ r₂, daher liegt die kleinere Masse weiter vom Baryzentrum. Den größeren Kreis legt sie in derselben Zeit mit größerer Geschwindigkeit zurück.

Warum hier T² ∝ a³/(M₁+M₂) und nicht einfach T² ∝ a³?

Beim Planeten um die Sonne ist die Masse des Zentralkörpers fast die Gesamtmasse des Systems. Beim Doppelstern sind beide Massen vergleichbar. Die Newtonsche Form des 3. Keplerschen Gesetzes: T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)], wobei a der Abstand der Sterne ist.

Was fehlt dem Kreisbahnmodell gegenüber realen Doppelsternen?

Die meisten Bahnen sind elliptisch. Es fehlen Gezeitenverformung, Massentransfer und relativistische Präzession, die bei engen Paaren wichtig sind. Die Sterne sind Punktmassen mit Exzentrizität null.

Wozu beobachten Astronomen Doppelsterne?

Aus Periode und Radialgeschwindigkeiten (Doppler-Effekt) folgen die Sternmassen direkt. Das ist der Hauptweg, Modelle von Aufbau und Entwicklung zu prüfen.

Doppelstern

Bahnen um den Massenmittelpunkt; r₁/r₂ = M₂/M₁; 3. Keplersches Gesetz T² ∝ a³/(M₁+M₂).

Diagramme

Zum Modell

Doppelstern auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Massenmittelpunkt. Das Newtonsche Gravitationsgesetz F = G M₁ M₂ / r² liefert jedem Stern die Zentripetalkraft. Die Radien sind den Massen umgekehrt proportional: r₁ / r₂ = M₂ / M₁; der massereichere Stern liegt näher am Massenmittelpunkt. Der Abstand der Sterne ist a = r₁ + r₂, die Umlaufzeit T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)]. Die Bahnen sind streng kreisförmig, die Sterne Punktmassen; Ellipsen, Gezeiten und Massentransfer fehlen. Einstellbar sind M₁, M₂ und a; im Graphen T(a).

Für wen: Schule und Studienbeginn: Massenmittelpunkt, Keplersche Gesetze, Newtonsches Gravitationsgesetz.

Wichtige Begriffe

Massenmittelpunkt
Doppelstern
3. Keplersches Gesetz
Umlaufzeit
Kreisbewegung
große Halbachse
Newtonsches Gravitationsgesetz

So funktioniert es

Zwei Punktmassen umlaufen den gemeinsamen Massenmittelpunkt. Bei Kreisbahnen stehen die Sterne stets auf gegenüberliegenden Seiten des Baryzentrums; r₁ = a M₂/(M₁+M₂), r₂ = a M₁/(M₁+M₂). 3. Keplersches Gesetz für die Relativbewegung: T² ∝ a³/(M₁+M₂). Auf dem Bildschirm: Bahnen und Graph der Umlaufzeit über dem Abstand a.

Wichtige Gleichungen

r₁ = a M₂/(M₁+M₂) , r₂ = a M₁/(M₁+M₂)

T² ∝ a³ / (M₁ + M₂)

Häufige Fragen

Warum ist der masseärmere Stern schneller und auf der größeren Bahn?: Beide Sterne umlaufen den gemeinsamen Massenmittelpunkt mit derselben Periode. Die Bedingung des Massenmittelpunkts: M₁ r₁ = M₂ r₂, daher liegt die kleinere Masse weiter vom Baryzentrum. Den größeren Kreis legt sie in derselben Zeit mit größerer Geschwindigkeit zurück.
Warum hier T² ∝ a³/(M₁+M₂) und nicht einfach T² ∝ a³?: Beim Planeten um die Sonne ist die Masse des Zentralkörpers fast die Gesamtmasse des Systems. Beim Doppelstern sind beide Massen vergleichbar. Die Newtonsche Form des 3. Keplerschen Gesetzes: T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)], wobei a der Abstand der Sterne ist.
Was fehlt dem Kreisbahnmodell gegenüber realen Doppelsternen?: Die meisten Bahnen sind elliptisch. Es fehlen Gezeitenverformung, Massentransfer und relativistische Präzession, die bei engen Paaren wichtig sind. Die Sterne sind Punktmassen mit Exzentrizität null.
Wozu beobachten Astronomen Doppelsterne?: Aus Periode und Radialgeschwindigkeiten (Doppler-Effekt) folgen die Sternmassen direkt. Das ist der Hauptweg, Modelle von Aufbau und Entwicklung zu prüfen.

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