Wenn die 2. kosmische Geschwindigkeit erreicht ist, wirkt die Gravitation dann nicht mehr?

Die Gravitation wirkt weiter. Das Feld reicht unendlich weit. An der Schwelle ist die kinetische Energie betragsgleich der potentiellen: der Körper kann ins Unendliche entkommen, wird ständig langsamer, fällt aber nicht zurück. In jedem endlichen Abstand ist die Kraft noch da, nur schwächer.

Warum liegt sie für die Erde bei etwa 11,2 km/s, Raketen aber nicht sofort so schnell?

Die Formel gilt für einen Impuls von der Oberfläche ohne weiteren Schub. Eine echte Rakete arbeitet mehrere Minuten, fügt Energie beim Aufstieg hinzu und verliert einen Teil des Schubs durch Luftwiderstand. In größerer Höhe ist die zum Entkommen nötige Geschwindigkeit kleiner als √(2GM/r).

Hängt die 2. kosmische Geschwindigkeit von der Masse des gestarteten Körpers ab?

Nein. In v_∞ = √(2GM/R) stehen nur Masse und Radius des Planeten. Ein schwererer Körper braucht mehr Energie, hat aber auch mehr Trägheit — das Verhältnis ist dasselbe. Alle Körper mit derselben Anfangsgeschwindigkeit verhalten sich gleich.

Worin unterscheidet sie sich vom Erreichen einer Umlaufbahn?

Die 1. kosmische Geschwindigkeit (etwa 7,9 km/s an der Erdoberfläche) ist die Tangentialgeschwindigkeit der Kreisbahn: der Körper fällt an der Erde vorbei. Die 2. (etwa 11,2 km/s) erlaubt das vollständige Verlassen des Potentialtopfs. Auf der Bahn ist die Gesamtenergie negativ; an der Schwelle zum Entkommen ist sie null.

2. kosmische Geschwindigkeit

Start von verschiedenen Planeten: die Bahn bleibt gebunden oder geht ins Unendliche.

Zum Modell

Die 2. kosmische Geschwindigkeit (im Lehrplan auch Fluchtgeschwindigkeit) ist die kleinste Geschwindigkeit, mit der ein Körper, ohne weiteren Schub von der Planetenoberfläche gestartet, ins Unendliche entkommt und nicht zurückfällt. Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz F = GMm/r² und der Erhaltung der mechanischen Energie (kinetische Energie ½mv² gleich der Arbeit gegen die Gravitation bis ins Unendliche) folgt v_∞ = √(2GM/R), wobei M und R Masse und Radius des Planeten sind. Luftwiderstand, Planetenrotation und die Anziehung anderer Körper fehlen: der Start ist radial, der Planet eine Kugel. Vergleichen Sie die gebundene Bahn (Geschwindigkeit unter der 2. kosmischen), den parabolischen Abflug genau an der Schwelle und den hyperbolischen Abflug darüber; die Kreisbahn verlangt bereits die 1. kosmische Geschwindigkeit, tangential gerichtet.

Für wen: Schule und Studienbeginn: Newtonsches Gravitationsgesetz, Energieerhaltung, 1. und 2. kosmische Geschwindigkeit.

Wichtige Begriffe

2. kosmische Geschwindigkeit
1. kosmische Geschwindigkeit
Newtonsches Gravitationsgesetz
Energieerhaltung
kinetische Energie
potentielle Gravitationsenergie
gebundene Bahn
Parabelbahn

So funktioniert es

Im Abstand r vom Zentrum eines kugelförmigen Körpers ist die 2. kosmische Geschwindigkeit v_esc = √(2GM/r). Beim radialen Start: unter v_esc bleibt die Sonde auf einer gebundenen Bahn (Ellipse); bei v_esc und darüber ist die spezifische mechanische Energie nichtnegativ, und die Bahn kann das Unendliche erreichen. Die Kreisbahngeschwindigkeit √(GM/r) ist um √2 kleiner — vergleichen Sie die Anzeigen. Die Planeten-Vorlagen skalieren GM und Radius zur Anschauung, nicht zur astronomischen Genauigkeit.

Wichtige Gleichungen

E = ½v² − GM/r · Entkommen bei E ≥ 0

v_esc = √(2GM/r), v_circ = √(GM/r)

Häufige Fragen

Wenn die 2. kosmische Geschwindigkeit erreicht ist, wirkt die Gravitation dann nicht mehr?: Die Gravitation wirkt weiter. Das Feld reicht unendlich weit. An der Schwelle ist die kinetische Energie betragsgleich der potentiellen: der Körper kann ins Unendliche entkommen, wird ständig langsamer, fällt aber nicht zurück. In jedem endlichen Abstand ist die Kraft noch da, nur schwächer.
Warum liegt sie für die Erde bei etwa 11,2 km/s, Raketen aber nicht sofort so schnell?: Die Formel gilt für einen Impuls von der Oberfläche ohne weiteren Schub. Eine echte Rakete arbeitet mehrere Minuten, fügt Energie beim Aufstieg hinzu und verliert einen Teil des Schubs durch Luftwiderstand. In größerer Höhe ist die zum Entkommen nötige Geschwindigkeit kleiner als √(2GM/r).
Hängt die 2. kosmische Geschwindigkeit von der Masse des gestarteten Körpers ab?: Nein. In v_∞ = √(2GM/R) stehen nur Masse und Radius des Planeten. Ein schwererer Körper braucht mehr Energie, hat aber auch mehr Trägheit — das Verhältnis ist dasselbe. Alle Körper mit derselben Anfangsgeschwindigkeit verhalten sich gleich.
Worin unterscheidet sie sich vom Erreichen einer Umlaufbahn?: Die 1. kosmische Geschwindigkeit (etwa 7,9 km/s an der Erdoberfläche) ist die Tangentialgeschwindigkeit der Kreisbahn: der Körper fällt an der Erde vorbei. Die 2. (etwa 11,2 km/s) erlaubt das vollständige Verlassen des Potentialtopfs. Auf der Bahn ist die Gesamtenergie negativ; an der Schwelle zum Entkommen ist sie null.

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