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Startseite/Gravitation und Bahnen/Hohmann-Transfer

Hohmann-Transfer

Komplanare Kreisbahnen r₁, r₂; Transferellipse; Impulse Δv₁ und Δv₂ aus dem Energieintegral.

Bahnen (willkürl. Einh.)

90
200
80000

Gemessene Größen

Δv im Perizentrum (innen)5.201 sim/s
Δv im Apozentrum (außen)4.243 sim/s
Exzentrizität des Transfers0.379

Zum Modell

Der Hohmann-Transfer ist ein Zwei-Impuls-Flug zwischen zwei komplanaren Kreisbahnen. Die Transferellipse berührt die innere Bahn im Perizentrum (r₁) und die äußere im Apozentrum (r₂); die große Halbachse ist a = (r₁+r₂)/2, die Exzentrizität e = (r₂−r₁)/(r₂+r₁). Die Geschwindigkeit auf der Kegelschnittbahn gibt das Energieintegral: v = √[GM(2/r − 1/a)]. Der erste Impuls Δv₁ auf der inneren Bahn hebt das Apozentrum auf r₂; der zweite Δv₂ auf der äußeren bringt das Fahrzeug auf die Kreisbahn. Die Bahnen sind ideal kreisförmig und komplanar; die Impulse sind instantan; weitere Körper fehlen. Man ändert r₁, r₂ und GM.

Für wen: Schule (vertieft) und Studium: Bahndynamik nach den Keplerschen Gesetzen; neben der geostationären Bahn und dem Gravity-Assist.

Wichtige Begriffe

  • hohmann-transfer
  • energieintegral
  • charakteristische geschwindigkeit
  • große halbachse
  • perizentrum
  • apozentrum
  • bahnenergie
  • zweikörperproblem

So funktioniert es

Komplanare Kreisbahnen r₁ < r₂ um ein Zentrum. Transferellipse: Perizentrum r₁, Apozentrum r₂, a = (r₁+r₂)/2. Ein tangentialer Impuls Δv₁ auf der inneren Bahn hebt das Apozentrum; Δv₂ auf der äußeren bringt auf die Kreisbahn r₂. Am Bildschirm: zwei Kreise, Ellipse und Impulspfeile; ein Punkt läuft auf dem Transferast. Die Triebwerksschübe sind instantan.

Wichtige Gleichungen

v_kr = √(GM/r) · vis-viva auf der Ellipse · zwei tangentiale Impulse

Häufige Fragen

Warum gilt der Hohmann-Transfer als der sparsamste?
Zwischen zwei komplanaren Kreisbahnen liefert er das kleinste gesamte Δv: die Ellipse berührt beide Kreise, und die Impulse liegen in Richtung der momentanen Geschwindigkeit — so ändert man die Bahnenergie am wirksamsten.
Kann man den Hohmann-Transfer für den Flug zum Mars nutzen?
Ja als Schema: eine Ellipse zwischen den Bahnen von Erde und Mars um die Sonne. Wirkliche Bahnen sind nicht ideal kreisförmig und nicht streng komplanar, daher braucht man Startfenster und Korrekturen.
Woher kommt die Formel v = √[GM(2/r − 1/a)]?
Das ist die Erhaltung der mechanischen Energie auf der Bahn: die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie pro Masse ist −GM/(2a). Mit r und der großen Halbachse folgt die Geschwindigkeit in jedem Punkt der Kegelschnittbahn.
Was ist die wichtigste Vereinfachung des Modells?
Der Antrieb wird instantan eingeschaltet. In Wirklichkeit dauert das Brennen, während das Fahrzeug fliegt, und man braucht ein komplizierteres Schubprogramm. Störungen, Atmosphäre und nichtkreisförmige Bahnen fehlen.