Por que o movimento é caótico?

O sistema é não linear e tem dois graus de liberdade com acoplamento forte. Em amplitudes grandes, trajetórias próximas no espaço de fases se afastam depressa: perde-se a previsão a longo prazo a partir dos ângulos iniciais.

Por que a energia total E se desloca mesmo com amortecimento nulo?

O método de Runge–Kutta de quarta ordem não é simplético. O erro de passo muda aos poucos o hamiltoniano numérico, de modo que ΔE pode crescer embora o modelo contínuo conserve a energia. Um passo menor reduz o arrasto.

Em que os ângulos pequenos diferem do caos?

Em ângulos pequenos as equações se linearizam em oscilações harmônicas acopladas e o movimento é quase periódico (predefinição «Ângulos pequenos»). Em ângulos grandes resta o acoplamento não linear completo e as trajetórias em geral são irregulares (predefinição «Caos clássico»).

O afastamento das duas pontas é o expoente de Lyapunov?

Não. O modo de comparação integra uma segunda cópia com θ₁ deslocado 0,1° e mostra a distância entre as massas de baixo. É uma imagem da sensibilidade. O expoente λ pediria a rapidez logarítmica normalizada do crescimento de perturbações infinitesimais.

Pêndulo duplo

Dois pêndulos acoplados: movimento caótico e rastro da massa de baixo.

Gráficos

Sobre o modelo

O pêndulo duplo — duas massas pontuais em hastes sem peso — é o exemplo clássico de sistema caótico. Os ângulos θ₁, θ₂ medem-se a partir da vertical para baixo; as equações não lineares acopladas de θ̈₁ e θ̈₂ (forma usual com δ = θ₁ − θ₂) integram-se pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem. A energia mecânica E = T + V: a cinética, pelas velocidades das pontas das hastes; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂). Um amortecimento angular opcional multiplica ω depois de cada passo. Uma segunda trajetória com θ₁ deslocado 0,1° mostra como as pontas se afastam: isso não é o expoente de Lyapunov λ.

Para quem: Ensino médio avançado e primeiros períodos: oscilações não lineares, caos, sensibilidade às condições iniciais.

Conceitos-chave

pêndulo duplo
caos
oscilações acopladas
espaço de fases
não linearidade
sensibilidade às condições iniciais

Como funciona

Duas massas pontuais em hastes sem peso: o sistema caótico clássico. Ângulos iniciais próximos se afastam depressa. As equações integram-se por Runge–Kutta de quarta ordem; um amortecimento angular opcional dissipa energia (não estabiliza o esquema numérico). A distância entre as massas de baixo na segunda corrida não é o expoente de Lyapunov.

Fórmulas principais

δ = θ₁ − θ₂, den = 2m₁ + m₂ − m₂ cos(2δ): θ¨₁ = [−g(2m₁+m₂)sin θ₁ − m₂ g sin(θ₁−2θ₂) − 2 sin δ · m₂(ω₂² L₂ + ω₁² L₁ cos δ)] / (L₁ den); θ¨₂ = [2 sin δ · (ω₁² L₁(m₁+m₂) + g(m₁+m₂)cos θ₁ + ω₂² L₂ m₂ cos δ)] / (L₂ den). Ângulos a partir da vertical para baixo.

E = T + V: T pelas velocidades das pontas das hastes; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂) (+ const). Amortecimento: ω ← ω e^(−γ Δt) depois de cada passo RK4.

Perguntas frequentes

Por que o movimento é caótico?: O sistema é não linear e tem dois graus de liberdade com acoplamento forte. Em amplitudes grandes, trajetórias próximas no espaço de fases se afastam depressa: perde-se a previsão a longo prazo a partir dos ângulos iniciais.
Por que a energia total E se desloca mesmo com amortecimento nulo?: O método de Runge–Kutta de quarta ordem não é simplético. O erro de passo muda aos poucos o hamiltoniano numérico, de modo que ΔE pode crescer embora o modelo contínuo conserve a energia. Um passo menor reduz o arrasto.
Em que os ângulos pequenos diferem do caos?: Em ângulos pequenos as equações se linearizam em oscilações harmônicas acopladas e o movimento é quase periódico (predefinição «Ângulos pequenos»). Em ângulos grandes resta o acoplamento não linear completo e as trajetórias em geral são irregulares (predefinição «Caos clássico»).
O afastamento das duas pontas é o expoente de Lyapunov?: Não. O modo de comparação integra uma segunda cópia com θ₁ deslocado 0,1° e mostra a distância entre as massas de baixo. É uma imagem da sensibilidade. O expoente λ pediria a rapidez logarítmica normalizada do crescimento de perturbações infinitesimais.

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