Em que Duffing difere de um oscilador linear?

Na mola linear F = −kx e a curva de ressonância é unívoca. O termo −k₃x³ entorta A(ω): num intervalo de frequências há duas amplitudes estáveis e, se ω muda devagar, a amplitude salta.

O que é a histerese na curva A(ω)?

O estado depende da história. Ao subir a frequência a amplitude segue o ramo alto e cai de um salto; ao descer, o salto para cima ocorre noutra frequência. A alça no gráfico de A contra ω é exatamente isso.

Onde aparece na técnica uma «mola dura»?

Uma viga ou um painel engastados, em grande flexão: a superfície média estica e a rigidez efetiva cresce. Assim se calculam as oscilações não lineares de placas, asas e MEMS, para não passar ao largo de um salto de amplitude.

Oscilador de Duffing

mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt; mola mole e mola dura; a amplitude A(ω) depende das condições iniciais.

Gráficos

Sobre o modelo

O oscilador de Duffing são oscilações forçadas com força restauradora cúbica: mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt. Se k₃ > 0 a mola endurece com a amplitude; se k₃ < 0, amolece. A curva de ressonância A(ω) entorta: aparecem biestabilidade e histerese, e a amplitude estacionária depende das condições iniciais e de a frequência estar subindo ou descendo. Na tela, x(t) e duas varreduras de A(ω) — a partir do repouso e a partir de um deslocamento. O caos sob excitação forte não é tratado aqui.

Para quem: Dinâmica não linear na graduação: oscilações forçadas, mola mole e mola dura.

Conceitos-chave

oscilador de Duffing
força restauradora cúbica
mola mole
mola dura
histerese
biestabilidade

Como funciona

Ao oscilador amortecido e excitado de forma harmônica soma-se a rigidez cúbica k₃x³. Se k₃ < 0 o pico de ressonância corre para a esquerda (amolecimento); se k₃ > 0, para a direita (endurecimento). À mesma ω a amplitude pode ser diferente conforme as condições iniciais — isso se vê nas duas varreduras de A(ω).

Fórmulas principais

m x'' + c x' + k x + k₃ x³ = F₀ cos(ωt)

Perguntas frequentes

Em que Duffing difere de um oscilador linear?: Na mola linear F = −kx e a curva de ressonância é unívoca. O termo −k₃x³ entorta A(ω): num intervalo de frequências há duas amplitudes estáveis e, se ω muda devagar, a amplitude salta.
O que é a histerese na curva A(ω)?: O estado depende da história. Ao subir a frequência a amplitude segue o ramo alto e cai de um salto; ao descer, o salto para cima ocorre noutra frequência. A alça no gráfico de A contra ω é exatamente isso.
Onde aparece na técnica uma «mola dura»?: Uma viga ou um painel engastados, em grande flexão: a superfície média estica e a rigidez efetiva cresce. Assim se calculam as oscilações não lineares de placas, asas e MEMS, para não passar ao largo de um salto de amplitude.

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