O que significa «colisão elástica» de sólitons?

Durante a interação os perfis fundem-se numa forma complicada, mas depois os sólitons separam-se com a mesma amplitude, a mesma velocidade e a mesma forma. O único rastro é o deslocamento de fase: cada um fica um pouco à frente ou atrás da trajetória que teria sem a colisão.

Onde aparecem os sólitons KdV?

Ondas solitárias em canais rasos, ondas internas na picnoclina, certas ondas em plasma. O meio real acrescenta atrito e perturbações, mas o sóliton KdV é uma boa primeira aproximação para um lombo localizado e estável.

Por que o termo u_xxx se chama dispersão?

No problema linear o u_xxx faz a velocidade de fase depender do número de onda: o pacote alarga-se. Na equação KdV esse alargamento é compensado exatamente pelo encurtamento não linear 6uu_x — e surge o sóliton que não se espalha.

O que não entra neste modelo?

Dissipação, não linearidades de ordem superior, forçamento e efeitos bidimensionais. Os sólitons exatos pedem a forma integrável da equação; no meio real a integrabilidade quebra-se e o sóliton irradia energia aos poucos.

Sólitons KdV

Equação de Korteweg–de Vries u_t + 6uu_x + u_xxx = 0: pulso isolado sech² ou colisão elástica de dois sólitons à Hirota.

Sobre o modelo

Sólitons KdV são pulsos localizados e estáveis da equação de Korteweg–de Vries u_t + 6uu_x + u_xxx = 0, modelo clássico da onda solitária em águas rasas. Os três termos equilibram a evolução no tempo, o encurtamento não linear da frente e a dispersão linear. No equilíbrio exato esses pulsos não se espalham. A solução de um sóliton é u(x,t) = 2κ² sech²(κ(x − 4κ²t − x₀)): a amplitude é proporcional ao quadrado da velocidade e a forma conserva-se. A solução de dois sólitons pelo método de Hirota mostra uma colisão elástica: sólitons de amplitudes diferentes atravessam-se e saem com a mesma forma e a mesma velocidade; muda só a fase. Simplificações: uma dimensão, não linearidade fraca, sem dissipação nem forçamento. No gráfico de u(x) veem-se os lombos e o deslocamento de fase depois da ultrapassagem.

Para quem: Física matemática na graduação: ondas não lineares, sistemas integráveis, sólitons.

Conceitos-chave

equação de Korteweg–de Vries
sóliton
onda não linear
dispersão
método de Hirota
sistema integrável
pulso sech²
deslocamento de fase

Como funciona

Equação de Korteweg–de Vries na forma padrão u_t + 6u u_x + u_xxx = 0. A curva de dois lombos é a solução exata de Hirota: o sóliton mais alto e mais rápido ultrapassa o baixo e sai quase com a forma original — a superposição não linear clássica. O pulso isolado é sech² com a lei u = 2k² sech²(k(x − x₀ − 4k²t)).

Fórmulas principais

u = 2 ∂²_xx ln τ, τ = 1 + exp(θ₁) + exp(θ₂) + A exp(θ₁+θ₂), θⱼ = kⱼx − 4kⱼ³t

Um sóliton: u = 2k² sech²(k(x − x₀ − 4k²t))

Perguntas frequentes

O que significa «colisão elástica» de sólitons?: Durante a interação os perfis fundem-se numa forma complicada, mas depois os sólitons separam-se com a mesma amplitude, a mesma velocidade e a mesma forma. O único rastro é o deslocamento de fase: cada um fica um pouco à frente ou atrás da trajetória que teria sem a colisão.
Onde aparecem os sólitons KdV?: Ondas solitárias em canais rasos, ondas internas na picnoclina, certas ondas em plasma. O meio real acrescenta atrito e perturbações, mas o sóliton KdV é uma boa primeira aproximação para um lombo localizado e estável.
Por que o termo u_xxx se chama dispersão?: No problema linear o u_xxx faz a velocidade de fase depender do número de onda: o pacote alarga-se. Na equação KdV esse alargamento é compensado exatamente pelo encurtamento não linear 6uu_x — e surge o sóliton que não se espalha.
O que não entra neste modelo?: Dissipação, não linearidades de ordem superior, forçamento e efeitos bidimensionais. Os sólitons exatos pedem a forma integrável da equação; no meio real a integrabilidade quebra-se e o sóliton irradia energia aos poucos.

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