¿En qué se diferencia Duffing de un oscilador lineal?

En un resorte lineal F = −kx y la curva de resonancia es unívoca. El término −k₃x³ tuerce A(ω): en un intervalo de frecuencias hay dos amplitudes estables y, si ω cambia despacio, la amplitud salta.

¿Qué es la histéresis en la curva A(ω)?

El estado depende de la historia. Al subir la frecuencia la amplitud va por la rama alta y cae de golpe; al bajar, el salto hacia arriba ocurre en otra frecuencia. El lazo en la gráfica de A frente a ω es precisamente eso.

¿Dónde aparece en la técnica un «resorte rígido»?

Una viga o un panel empotrados, a gran flexión: la superficie media se estira y la rigidez efectiva crece. Así se calculan las oscilaciones no lineales de placas, alas y MEMS, para no pasar por alto un salto de amplitud.

Oscilador de Duffing

mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt; resorte blando y rígido; la amplitud A(ω) depende de las condiciones iniciales.

Gráficas

Sobre el modelo

El oscilador de Duffing son oscilaciones forzadas con fuerza restauradora cúbica: mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt. Si k₃ > 0 el resorte se endurece con la amplitud; si k₃ < 0 se ablanda. La curva de resonancia A(ω) se tuerce: aparecen biestabilidad e histéresis, y la amplitud estacionaria depende de las condiciones iniciales y de si la frecuencia sube o baja. En pantalla, x(t) y dos barridos de A(ω): desde el reposo y desde un desplazamiento. El caos a excitación fuerte no se trata aquí.

Para quién: Dinámica no lineal de facultad: oscilaciones forzadas, resorte blando y rígido.

Conceptos clave

oscilador de Duffing
fuerza restauradora cúbica
resorte blando
resorte rígido
histéresis
biestabilidad

Cómo funciona

Al oscilador amortiguado y excitado en forma armónica se le suma la rigidez cúbica k₃x³. Si k₃ < 0 el pico de resonancia se corre a la izquierda (ablandamiento); si k₃ > 0, a la derecha (endurecimiento). A una misma ω la amplitud puede ser distinta según las condiciones iniciales: se ve en los dos barridos de A(ω).

Fórmulas principales

m x'' + c x' + k x + k₃ x³ = F₀ cos(ωt)

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia Duffing de un oscilador lineal?: En un resorte lineal F = −kx y la curva de resonancia es unívoca. El término −k₃x³ tuerce A(ω): en un intervalo de frecuencias hay dos amplitudes estables y, si ω cambia despacio, la amplitud salta.
¿Qué es la histéresis en la curva A(ω)?: El estado depende de la historia. Al subir la frecuencia la amplitud va por la rama alta y cae de golpe; al bajar, el salto hacia arriba ocurre en otra frecuencia. El lazo en la gráfica de A frente a ω es precisamente eso.
¿Dónde aparece en la técnica un «resorte rígido»?: Una viga o un panel empotrados, a gran flexión: la superficie media se estira y la rigidez efectiva crece. Así se calculan las oscilaciones no lineales de placas, alas y MEMS, para no pasar por alto un salto de amplitud.

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