Чем Даффинг отличается от линейного осциллятора?

У линейной пружины F = −kx, резонансная кривая однозначная. Член −k₃x³ изгибает A(ω): на одном интервале частот две устойчивые амплитуды, при медленном ходе ω амплитуда скачет.

Что такое гистерезис на кривой A(ω)?

Состояние зависит от истории. При росте частоты амплитуда идёт по верхней ветви и скачком падает; при уменьшении скачок вверх — на другой частоте. Петля на графике A от ω как раз это и есть.

Где в технике «жёсткая пружина»?

Защемлённая балка или панель при большом прогибе: срединная поверхность растягивается, эффективная жёсткость растёт. Так считают нелинейные колебания пластин, крыльев и МЭМС, чтобы не пропустить скачок амплитуды.

Осциллятор Даффинга

mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt; мягкая и жёсткая пружина; амплитуда A(ω) зависит от начальных условий.

Пресеты

Динамика

Масса m1 kg

Линейная k18 N/m

Кубическая k₃-6 N/m³

Демпфирование c0.28 N·s/m

Возбуждение F cos(ωt)

F₀2.4 N

ω4.2 rad/s

Начальное состояние

x₀0 m

v₀0 m/s

Восстанавливающая сила F_s = −kx − k₃x³. Отрицательный k₃ смягчает пружину при больших |x| (пик отклика смещается к меньшим ω); положительный k₃ ужесточает. Грубые кривые A(ω) сравнивают установившуюся амплитуду после «холодного» старта из x = 0 и из x ≈ 4,2 м — в некоторых диапазонах разные аттракторы (намёк на мультистабильность / гистерезис).

Горячие клавиши

Пробел / Enter — запуск
R — стоп и очистка графика

Измеренные величины

ω₀ (линейная часть)4.243rad/s

x0.000m

v0.000m/s

Оц. ампл. (недавн.)0.000m

Графики

О модели

Осциллятор Даффинга — вынужденные колебания с кубической возвращающей силой: mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt. При k₃ > 0 пружина ужесточается с амплитудой, при k₃ < 0 — смягчается. Резонансная кривая A(ω) изгибается: появляется бистабильность и гистерезис, установившаяся амплитуда зависит от начальных условий и от того, растёт частота или падает. На экране x(t) и два сканирования A(ω) — из покоя и из смещённого старта. Хаос при сильном возбуждении здесь не разбирается.

Для кого: Вузовская нелинейная динамика: вынужденные колебания, мягкая и жёсткая пружина.

Ключевые понятия

осциллятор Даффинга
кубическая возвращающая сила
мягкая пружина
жёсткая пружина
гистерезис
бистабильность

Как это работает

К демпфированному гармонически возбуждаемому осциллятору добавлена кубическая жёсткость k₃x³. При k₃ < 0 резонансный пик уходит влево (смягчение), при k₃ > 0 — вправо (ужесточение). Амплитуда при одной ω может быть разной в зависимости от начальных условий — это видно на двух сканированиях A(ω).

Основные формулы

m x'' + c x' + k x + k₃ x³ = F₀ cos(ωt)

Часто задаваемые вопросы

Чем Даффинг отличается от линейного осциллятора?: У линейной пружины F = −kx, резонансная кривая однозначная. Член −k₃x³ изгибает A(ω): на одном интервале частот две устойчивые амплитуды, при медленном ходе ω амплитуда скачет.
Что такое гистерезис на кривой A(ω)?: Состояние зависит от истории. При росте частоты амплитуда идёт по верхней ветви и скачком падает; при уменьшении скачок вверх — на другой частоте. Петля на графике A от ω как раз это и есть.
Где в технике «жёсткая пружина»?: Защемлённая балка или панель при большом прогибе: срединная поверхность растягивается, эффективная жёсткость растёт. Так считают нелинейные колебания пластин, крыльев и МЭМС, чтобы не пропустить скачок амплитуды.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные