Worin unterscheidet sich Duffing vom linearen Oszillator?

Bei der linearen Feder gilt F = −kx, die Resonanzkurve ist eindeutig. Der Term −k₃x³ biegt A(ω): auf einem Frequenzintervall zwei stabile Amplituden, bei langsamem Durchlauf von ω springt die Amplitude.

Was ist Hysterese auf der Kurve A(ω)?

Der Zustand hängt von der Vorgeschichte ab. Steigt die Frequenz, folgt die Amplitude dem oberen Ast und fällt sprunghaft; sinkt sie, liegt der Sprung nach oben bei einer anderen Frequenz. Die Schleife im Diagramm A über ω ist genau das.

Wo gibt es in der Technik eine „harte Feder“?

Eingespannter Balken oder Platte bei großer Durchbiegung: die Mittelfläche dehnt sich, die effektive Steifigkeit wächst. So rechnet man nichtlineare Plattenschwingungen, Tragflächen und MEMS, um den Amplitudensprung nicht zu übersehen.

Duffing-Oszillator

mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt; weiche und harte Feder; Amplitude A(ω) hängt von den Anfangsbedingungen ab.

Diagramme

Zum Modell

Der Duffing-Oszillator beschreibt erzwungene Schwingungen mit kubischer Rückstellkraft: mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt. Bei k₃ > 0 wird die Feder mit der Amplitude härter, bei k₃ < 0 weicher. Die Resonanzkurve A(ω) biegt sich: es entstehen Bistabilität und Hysterese, die eingeschwungene Amplitude hängt von den Anfangsbedingungen und davon ab, ob die Frequenz steigt oder fällt. Auf dem Bildschirm x(t) und zwei Durchläufe A(ω) — aus der Ruhe und aus einem versetzten Start. Chaos bei starker Anregung wird hier nicht behandelt.

Für wen: Nichtlineare Dynamik im ersten Semester: erzwungene Schwingungen, weiche und harte Feder.

Wichtige Begriffe

Duffing-Oszillator
kubische Rückstellkraft
weiche Feder
harte Feder
Hysterese
Bistabilität

So funktioniert es

Zum gedämpften, harmonisch angeregten Oszillator kommt die kubische Steifigkeit k₃x³. Bei k₃ < 0 wandert die Resonanzspitze nach links (Erweichung), bei k₃ > 0 nach rechts (Versteifung). Die Amplitude bei einem ω kann je nach Anfangsbedingungen verschieden sein — das zeigen die zwei Durchläufe A(ω).

Wichtige Gleichungen

m x'' + c x' + k x + k₃ x³ = F₀ cos(ωt)

Häufige Fragen

Worin unterscheidet sich Duffing vom linearen Oszillator?: Bei der linearen Feder gilt F = −kx, die Resonanzkurve ist eindeutig. Der Term −k₃x³ biegt A(ω): auf einem Frequenzintervall zwei stabile Amplituden, bei langsamem Durchlauf von ω springt die Amplitude.
Was ist Hysterese auf der Kurve A(ω)?: Der Zustand hängt von der Vorgeschichte ab. Steigt die Frequenz, folgt die Amplitude dem oberen Ast und fällt sprunghaft; sinkt sie, liegt der Sprung nach oben bei einer anderen Frequenz. Die Schleife im Diagramm A über ω ist genau das.
Wo gibt es in der Technik eine „harte Feder“?: Eingespannter Balken oder Platte bei großer Durchbiegung: die Mittelfläche dehnt sich, die effektive Steifigkeit wächst. So rechnet man nichtlineare Plattenschwingungen, Tragflächen und MEMS, um den Amplitudensprung nicht zu übersehen.

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