A origem é plana (ou assimétrica, ou com duas corcovas) — por que as médias ainda formam uma curva em sino?

Uma média amostral soma n contribuições independentes, e uma soma de muitos pedaços pequenos e independentes é dominada pelo modo como esses pedaços se combinam, não pela forma de um pedaço isolado. Matematicamente, a função característica da soma padronizada tende à da normal padrão sempre que a origem tem variância finita. A forma da origem só controla a rapidez disso: na uniforme o histograma das médias já fica perto da normal em n = 5, a exponencial precisa de cerca de n = 30 para a cauda direita se apagar, e a origem bimodal parece normal quando n é grande o bastante para uma média cobrir as duas corcovas. Em n = 1 o histograma das médias é simplesmente a própria origem, e por isso esse ajuste é o ponto de partida natural.

Por que a dispersão das médias encolhe como σ/√n, e não como σ/n?

As variâncias de variáveis independentes se somam. A soma x₁ + … + xₙ tem variância nσ², e dividir a soma por n divide a variância por n², restando σ²/n. A raiz quadrada dá o desvio padrão da média, σ/√n, chamado erro padrão. Assim, quadruplicar n só reduz a dispersão à metade: compare n = 5 e n = 20, ou leia o erro padrão teórico e o DP empírico das médias na leitura — eles concordam depois que algumas centenas de médias foram reunidas.

Qual é a diferença entre o tamanho da amostra n e o número de médias reunidas?

Eles cumprem papéis diferentes. O tamanho da amostra n é quantos valores da origem se usam para formar uma média; ele decide a forma e a largura da distribuição amostral, pelo erro padrão σ/√n e pelo teorema central do limite. O número de médias reunidas decide quão bem o histograma mostra essa distribuição amostral: com 20 médias o histograma fica irregular, com 1000 fica liso. Aumentar o número de médias nunca estreita o histograma; só aumentar n estreita.

De onde vêm os valores exatos de μ e σ de cada origem?

Eles saem das definições E[X] = ∫x f(x) dx (ou Σx p(x)) e σ² = E[X²] − μ². Para U(0,1), E[X] = 1/2 e E[X²] = 1/3, logo σ² = 1/12. Para a exponencial de taxa 1, μ = 1 e E[X²] = 2, logo σ = 1. Para uma binomial, μ = np e σ² = np(1 − p), o que dá 2 e 1,6 para n = 10, p = 0,2. Para um dado honesto, μ = 3,5 e E[X²] = 91/6, logo σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Para a mistura igual de N(−1,5; 0,5²) e N(1,5; 0,5²), μ = 0 e σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, porque a variância de uma mistura é a média das variâncias dentro de cada componente mais a variância das médias dos componentes.

Teorema central do limite

Escolha uma origem (uniforme, exponencial, binomial, dado) e extraia amostras de tamanho n = 1, 5, 30; o histograma das médias fica normal e a dispersão encolhe como σ/√n.

Experimento de amostragem

Distribuição de origem

Tamanho da amostra n5

Ritmo da extração automática4 amostras/s

Sobrepor normal N(μ, σ²/n)

Cada amostra reúne n extrações independentes da origem escolhida; a média x̄ é um item do histograma de baixo. Mudar a origem ou n começa uma nova coleção de médias. O eixo x do histograma fica fixo na amplitude da origem, de modo que a dispersão das médias encolhe de forma visível como σ/√n quando n cresce. Reiniciar sorteia uma semente nova.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — extrair uma amostra
P — extração automática liga / desliga
R — reiniciar (semente nova)

Grandezas medidas

Média da origem μ0.5000 (1/2)

DP da origem σ0.2887 (1/√12)

Tamanho da amostra n5

Médias reunidas0

Última média amostral x̄—

Média das médias—

DP das médias (empírico)—

σ/√n (teoria)0.1291

Assimetria das médias—

Sobre o modelo

O simulador extrai amostras de tamanho n de uma distribuição de origem escolhida, reduz cada amostra à sua média x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n e reúne essas médias num histograma. Há cinco origens, cada uma com média μ e desvio padrão σ em forma fechada: a uniforme U(0,1) (μ = 1/2, σ = 1/√12 ≈ 0,2887), a exponencial de taxa 1 (μ = 1, σ = 1), a binomial Bin(10; 0,2) (μ = np = 2, σ = √(np(1−p)) = √1,6 ≈ 1,265), um dado honesto de seis faces (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708) e uma mistura de pesos iguais de duas normais centradas em ±1,5 com desvio padrão 0,5 (μ = 0, σ = √(0,5² + 1,5²) = √2,5 ≈ 1,581). As extrações são independentes e identicamente distribuídas e vêm de um gerador pseudoaleatório com semente (mulberry32), de modo que a sessão é reproduzível até que Reiniciar escolha uma semente nova; a exponencial é amostrada por inversão, a binomial como soma de dez ensaios de Bernoulli e a mistura com a transformação de Box–Muller. Para qualquer origem de variância finita, E[x̄] = μ e DP[x̄] = σ/√n exatamente, para todo n. O teorema central do limite acrescenta a forma: quando n cresce, a distribuição de (x̄ − μ)/(σ/√n) aproxima-se da normal padrão, de modo que o histograma das médias aproxima-se de N(μ, σ²/n). A curva sobreposta é essa normal escalada pelo número de médias reunidas e pela largura da classe, as linhas tracejadas marcam μ e μ ± σ/√n, e a leitura compara o erro padrão teórico σ/√n com o desvio padrão amostral das médias reunidas (divisor N − 1). A assimetria das médias, m₃/m₂^{3/2}, é informada porque mostra como a assimetria de uma origem assimétrica (exponencial, binomial com p = 0,2) decai mais ou menos como 1/√n. As classes têm largura de cerca de σ/(3√n), de modo que um sino de ±3 erros padrão cobre sempre cerca de dezoito classes; para origens discretas a largura é arredondada a um múltiplo de 1/n, para que toda média possível k/n caia no centro de uma classe. O eixo x fica fixo na amplitude da origem, para se ver diretamente o estreitamento do histograma com n. Simplificações: a origem é totalmente conhecida, as extrações são i.i.d., não há correção de população finita e a taxa de convergência não é quantificada (a cota de Berry–Esseen não é desenhada). Simuladores vizinhos: statistics/law-of-large-numbers (convergência de uma única média acumulada), statistics/normal-distribution (a curva limite e os escores z), statistics/galton-board e statistics/binomial-distribution (uma binomial que se torna normal), statistics/confidence-interval (onde σ/√n é usado na prática).

Para quem: Ensino médio e estatística introdutória na universidade (AP Statistics, cursos de probabilidade e estatística do primeiro ano).

Conceitos-chave

teorema central do limite
média amostral
erro padrão σ/√n
distribuição de origem (população)
distribuição amostral
aproximação normal
assimetria
independentes e identicamente distribuídas

Como funciona

Escolha uma distribuição de origem — plana, assimétrica, discreta ou até com duas corcovas — e extraia amostras de n valores dela. Cada amostra se reduz a um único número, a sua média amostral x̄, e essa média cai no histograma de baixo. Seja qual for o aspecto da origem, as médias se acumulam em torno da média μ da origem e, à medida que chegam mais médias, o histograma toma a forma de uma distribuição normal N(μ, σ²/n): esse é o teorema central do limite. A largura é o erro padrão σ/√n, de modo que quadruplicar n reduz a dispersão à metade — compare n = 1, 5 e 30 com o eixo x fixo. O modelo é idealizado: as extrações são independentes e identicamente distribuídas, e μ e σ da origem são conhecidos exatamente em forma fechada.

Fórmulas principais

x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n, E[x̄] = μ

DP[x̄] = σ/√n (erro padrão da média)

TCL: (x̄ − μ)/(σ/√n) → N(0, 1) quando n → ∞, isto é, x̄ ≈ N(μ, σ²/n)

μ, σ: U(0,1): 1/2, 1/√12 · Exp(1): 1, 1 · Bin(10; 0,2): 2, √1,6 · dado: 3,5, √(35/12) · bimodal ½N(−1,5; 0,5²)+½N(1,5; 0,5²): 0, √2,5

Perguntas frequentes

A origem é plana (ou assimétrica, ou com duas corcovas) — por que as médias ainda formam uma curva em sino?: Uma média amostral soma n contribuições independentes, e uma soma de muitos pedaços pequenos e independentes é dominada pelo modo como esses pedaços se combinam, não pela forma de um pedaço isolado. Matematicamente, a função característica da soma padronizada tende à da normal padrão sempre que a origem tem variância finita. A forma da origem só controla a rapidez disso: na uniforme o histograma das médias já fica perto da normal em n = 5, a exponencial precisa de cerca de n = 30 para a cauda direita se apagar, e a origem bimodal parece normal quando n é grande o bastante para uma média cobrir as duas corcovas. Em n = 1 o histograma das médias é simplesmente a própria origem, e por isso esse ajuste é o ponto de partida natural.
Por que a dispersão das médias encolhe como σ/√n, e não como σ/n?: As variâncias de variáveis independentes se somam. A soma x₁ + … + xₙ tem variância nσ², e dividir a soma por n divide a variância por n², restando σ²/n. A raiz quadrada dá o desvio padrão da média, σ/√n, chamado erro padrão. Assim, quadruplicar n só reduz a dispersão à metade: compare n = 5 e n = 20, ou leia o erro padrão teórico e o DP empírico das médias na leitura — eles concordam depois que algumas centenas de médias foram reunidas.
Qual é a diferença entre o tamanho da amostra n e o número de médias reunidas?: Eles cumprem papéis diferentes. O tamanho da amostra n é quantos valores da origem se usam para formar uma média; ele decide a forma e a largura da distribuição amostral, pelo erro padrão σ/√n e pelo teorema central do limite. O número de médias reunidas decide quão bem o histograma mostra essa distribuição amostral: com 20 médias o histograma fica irregular, com 1000 fica liso. Aumentar o número de médias nunca estreita o histograma; só aumentar n estreita.
De onde vêm os valores exatos de μ e σ de cada origem?: Eles saem das definições E[X] = ∫x f(x) dx (ou Σx p(x)) e σ² = E[X²] − μ². Para U(0,1), E[X] = 1/2 e E[X²] = 1/3, logo σ² = 1/12. Para a exponencial de taxa 1, μ = 1 e E[X²] = 2, logo σ = 1. Para uma binomial, μ = np e σ² = np(1 − p), o que dá 2 e 1,6 para n = 10, p = 0,2. Para um dado honesto, μ = 3,5 e E[X²] = 91/6, logo σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Para a mistura igual de N(−1,5; 0,5²) e N(1,5; 0,5²), μ = 0 e σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, porque a variância de uma mistura é a média das variâncias dentro de cada componente mais a variância das médias dos componentes.

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